(1) A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória X é
f(x)=cc18(5-x), & 1 <= x <= 5 0, & caso contrário á
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é muX=

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre função densidade de probabilidade. A questão nos dá uma função $ f(x) $ que descreve a probabilidade de uma variável aleatória $ X $ assumir certos valores. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado (ou média) dessa variável, que representamos por $ \mu_X $. Para isso, vamos precisar usar a definição de valor esperado para variáveis contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de uma variável contínua. A fórmula é:
muX = integral-infty^infty x cdot f(x) , dx
Isso significa que vamos multiplicar cada valor de $ x $ pela sua probabilidade $ f(x) $ e somar tudo isso.

Passo 3

No nosso caso, a função $ f(x) $ é definida da seguinte maneira:
f(x) á
Isso quer dizer que fora do intervalo de 1 a 5, a probabilidade é zero. Portanto, nossa integral para o valor esperado será de 1 a 5.

Passo 4

Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula do valor esperado:
f(x)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x(5 - x) = 5x - x^2
Então, a integral fica:
muX = 18 integral1^5 (5x - x^2) , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral (5x - x^2) , dx = 52x^2 - 13x^3
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 1 a 5:
muX = 18 [ ( 52(5)^2 - 13(5)^3 ) - ( 52(1)^2 - 13(1)^3 ) ]
Calculando cada parte:
Para $ x = 5 $:
x = 5
Para $ x = 1 $:
52 times 25 - 13 times 125 = 1252 - 1253 = 375 - 2506 = 1256
Subtraindo:
x = 1

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo fator $ \frac{1}{8} $:
18

Resposta

O valor esperado da variável aleatória $ X $ é $ \mu_X = \frac{7}{3} $ ou aproximadamente 2,33.

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