A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória
é
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é
b) O valor esperado (ou média) da variável aleatória é
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre função densidade de probabilidade. A questão nos dá uma função $ f(x) $ que descreve a probabilidade de uma variável aleatória $ X $ assumir certos valores. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado (ou média) dessa variável, que representamos por $ \mu_X $. Para isso, vamos precisar usar a definição de valor esperado para variáveis contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de uma variável contínua. A fórmula é:
Isso significa que vamos multiplicar cada valor de $ x $ pela sua probabilidade $ f(x) $ e somar tudo isso.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(x) $ é definida da seguinte maneira:
Isso quer dizer que fora do intervalo de 1 a 5, a probabilidade é zero. Portanto, nossa integral para o valor esperado será de 1 a 5.
Passo 4
Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula do valor esperado:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 1 a 5:
Calculando cada parte:
Para $ x = 5 $:
Para $ x = 1 $:
Subtraindo:
Passo 7
Agora, multiplicamos pelo fator $ \frac{1}{8} $:
Resposta
O valor esperado da variável aleatória $ X $ é $ \mu_X = \frac{7}{3} $ ou aproximadamente 2,33.