O fornecedor de material para fabricação dos resistores foi substituído e é possível que a qualidade do produto tenha sido alterada. Para investigar esta situação, os engenheiros colheram uma amostra aleatória com 100 resistores.
b) Determine um intervalo com
de confiança para a resistência média desta amostra:
.
b) Determine um intervalo com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício fala sobre um fornecedor que foi trocado e os engenheiros estão preocupados se isso afetou a qualidade dos resistores. Eles pegaram uma amostra aleatória de 100 resistores e agora queremos determinar um intervalo de confiança de 80% para a resistência média dessa amostra. Isso está dentro da área de Estatística, especificamente usando intervalos de confiança. Para resolver isso, a gente vai precisar da média da amostra e do desvio padrão, além de conhecer um pouquinho sobre distribuições normais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos conter a verdadeira média da população com uma certa confiança, que nesse caso é de 80%. Isso nos dá uma ideia de quão precisos são nossos dados em representar toda a população.
Passo 3
Como a amostra é grande (100 resistores), podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. Isso facilita porque não precisamos nos preocupar tanto com a distribuição dos dados na população.
Passo 4
A fórmula para o intervalo de confiança da média é:
Aqui:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população (se não conhecido, usamos o desvio padrão da amostra, ). -
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Como queremos 80% de confiança, precisamos encontrar o valor de
que deixa 10% em cada cauda da distribuição (já que 80% está no meio). Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Suponha que a média da amostra seja
e o desvio padrão da amostra seja
. Então, o intervalo fica:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, calculamos os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
- Limite Inferior:
- Limite Superior:
Resposta
Então, o intervalo de confiança de 80% para a resistência média da amostra é:
Isso significa que estamos 80% confiantes de que a média verdadeira das resistências está dentro desse intervalo.