Um fabricante informa que os pregos de sua fabricação contêm, no máximo 1,5 \% de defeituosos. Ao receber uma remessa destes pregos, o cliente selecionou uma amostra aleatória de 200 pregos, encontrando 6 defeituosos. Testa r a hipótese de que a proporção dos pregos defeituosos é de 1,5% contra a hipótese de que seja.
a) Diferente de 1,5 \%(\alpha=5 \%)
b) Maior que 1,5 \%(\alpha=6 \%)
c) Menor que 1,5 \%(\alpha=4 \%)

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a proporção de pregos defeituosos. Temos uma amostra de n=200 pregos com x=6 defeituosos e o fabricante afirma que a proporção verdadeira é p_0=0,015. Vamos usar a aproximação normal ao testar:
– Passo inicial: calcular a proporção amostral \hat p e verificar as condições para usar o teste Z.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{6}{200} = 0,03.
Como n é grande, usamos o teste estatístico
Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}.

Passo 3

Computamos o erro padrão de \hat p:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0,015\,(1-0,015)}{200}} = \sqrt{\frac{0,015\cdot0,985}{200}} \approx 0,008595.

Passo 4

Substituindo, obtemos
Z = \frac{0,03 - 0,015}{0,008595} \approx 1,745.

Passo 5

a) Teste bilateral com \alpha=5\%.
Nível crítico: Z_{1-\alpha/2}=Z_{0,975}\approx1,96.
Rejeitamos H_0 se \lvert Z\rvert >1,96. Aqui \lvert1,745\rvert<1,96, logo não rejeitamos H_0.

Passo 6

b) Teste unilateral à direita com \alpha=6\%.
Nível crítico: Z_{1-\alpha}=Z_{0,94}\approx1,555.
Rejeitamos H_0 se Z>1,555. Como 1,745>1,555, rejeitamos H_0.

Passo 7

c) Teste unilateral à esquerda com \alpha=4\%.
Nível crítico: Z_{\alpha}=Z_{0,04}\approx-1,751.
Rejeitamos H_0 se Z< -1,751. Aqui 1,745>-1,751, portanto não rejeitamos H_0.

Resposta

(a) Não rejeitamos H_0 a 5\%.
(b) Rejeitamos H_0 a 6\%.
(c) Não rejeitamos H_0 a 4\%.

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