Mostre que todo cubo que é também um quadrado perfeito é da forma 5 n, 5 n+1 ou 5 n+4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo número N que é simultaneamente um cubo perfeito e um quadrado perfeito satisfaz
N\equiv 0,\;1\;\text{ou}\;4\pmod{5},
ou seja, é da forma 5n, 5n+1 ou 5n+4.
Conteúdo usado: fatorização em primos para exibir um número que é ao mesmo tempo cubo e quadrado como sexta potência, e cálculo de resíduos módulo 5 usando o Pequeno Teorema de Fermat.

Passo 2

Suponha
N=m^3=n^2
com m,n\in\mathbb{Z}. Na fatoração prima de N, cada expoente é múltiplo de 3 (pois vem de m^3) e também múltiplo de 2 (pois vem de n^2). Logo cada expoente é múltiplo de 6, e podemos escrever
N=a^6
para algum a\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Vamos encontrar as possíveis classes de a^6 em \mathbb{Z}_5.
  1. Se 5\mid a, então a\equiv 0\pmod{5} e
a^6\equiv 0^6=0\pmod{5}.
  1. Se 5\nmid a, o Pequeno Teorema de Fermat dá
a^4\equiv 1\pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad a^6 = a^4\cdot a^2\equiv 1\cdot a^2 = a^2\pmod{5}.
Mas os quadrados em \mathbb{Z}_5 são apenas
0^2\equiv 0,\quad 1^2\equiv1,\quad 2^2\equiv4,\quad3^2\equiv9\equiv4,\quad4^2\equiv16\equiv1\pmod{5}.
Portanto, quando 5\nmid a, tem-se
a^6\equiv a^2\equiv 1\text{ ou }4\pmod{5}.

Passo 4

Combinando os casos, as únicas possibilidades para N=a^6\pmod{5} são
N\equiv 0,\;1\;\text{ou}\;4\pmod{5}.
Isto mostra que todo cubo que também é quadrado perfeito é da forma 5n, 5n+1 ou 5n+4.

Resposta

O número N satisfaz
N\equiv 0,\;1\;\text{ou}\;4\pmod{5},
ou seja, é da forma 5n, 5n+1 ou 5n+4.

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