Mostre que todo cubo que é também um quadrado perfeito é da forma
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo número
que é simultaneamente um cubo perfeito e um quadrado perfeito satisfaz
ou seja, é da forma
,
ou
.
Conteúdo usado: fatorização em primos para exibir um número que é ao mesmo tempo cubo e quadrado como sexta potência, e cálculo de resíduos módulo 5 usando o Pequeno Teorema de Fermat.
Conteúdo usado: fatorização em primos para exibir um número que é ao mesmo tempo cubo e quadrado como sexta potência, e cálculo de resíduos módulo 5 usando o Pequeno Teorema de Fermat.
Passo 2
Suponha
com
. Na fatoração prima de
, cada expoente é múltiplo de 3 (pois vem de
) e também múltiplo de 2 (pois vem de
). Logo cada expoente é múltiplo de 6, e podemos escrever
para algum
.
Passo 3
Vamos encontrar as possíveis classes de
em
.
- Se
, então e
- Se
, o Pequeno Teorema de Fermat dá
Mas os quadrados em
são apenas
Portanto, quando
, tem-se
Passo 4
Combinando os casos, as únicas possibilidades para
são
Isto mostra que todo cubo que também é quadrado perfeito é da forma
,
ou
.
Resposta
O número
satisfaz
ou seja, é da forma
,
ou
.