Mostre que todo cubo que é também um quadrado perfeito é da forma
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo número inteiro que é ao mesmo tempo um cubo perfeito e um quadrado perfeito tem de ser congruente a
ou a
módulo
, ou seja, estar na forma
ou
. O conteúdo principal aqui é teoria de congruências e o uso do Teorema de Fermat para potências.
Passo 2
Seja
um inteiro que é quadrado perfeito e também cubo perfeito. Então existem inteiros
e
tais que
Isto implica que
é uma sexta potência de algum inteiro
, pois basta tomar
adequado ou observar que o expoente mínimo comum de
e
é
. Logo
para algum inteiro
.
Passo 3
Agora analisamos
módulo
. Pelo Teorema de Fermat, para todo inteiro
que não seja múltiplo de
vale
Se
divide
, então
. Portanto, em qualquer caso
isto é,
é da forma
ou
.
Resposta
Todo cubo que é também quadrado perfeito é congruente a
ou a
módulo
, ou seja, está na forma