Mostre que todo cubo que é também um quadrado perfeito é da forma 7 n, 7 n+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo número inteiro que é ao mesmo tempo um cubo perfeito e um quadrado perfeito tem de ser congruente a 0 ou a 1 módulo 7, ou seja, estar na forma 7n ou 7n+1. O conteúdo principal aqui é teoria de congruências e o uso do Teorema de Fermat para potências.

Passo 2

Seja x um inteiro que é quadrado perfeito e também cubo perfeito. Então existem inteiros b e c tais que
x = b^2 = c^3.
Isto implica que x é uma sexta potência de algum inteiro a, pois basta tomar a = \gcd(b,c) adequado ou observar que o expoente mínimo comum de 2 e 3 é 6. Logo
x = a^6
para algum inteiro a.

Passo 3

Agora analisamos a^6 módulo 7. Pelo Teorema de Fermat, para todo inteiro a que não seja múltiplo de 7 vale
a^6 \equiv 1 \pmod{7}.
Se 7 divide a, então a^6\equiv 0\pmod{7}. Portanto, em qualquer caso
a^6 \equiv 0 \quad\text{ou}\quad a^6 \equiv 1 \pmod{7},
isto é, x = a^6 é da forma 7n ou 7n+1.

Resposta

Todo cubo que é também quadrado perfeito é congruente a 0 ou a 1 módulo 7, ou seja, está na forma
7n \quad\text{ou}\quad 7n+1.

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