Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo material em sua fabricação e acredita que aumentará a resistência média, que é de 206 kg . A resistências das lajotas tem distribuição normal com desvio padrão de 12 kg . Retira-se uma amostra aleatória de 30 lajotas obtendo uma média de 210 kg . Com um nível de significância de
, o fabricante pode aceitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado? E se trocássemos o nível de significância, o resultado do teste poderia ser diferente? Justifique apresentando o valor-p.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fabricante de lajotas que acredita ter melhorado a resistência média das suas peças ao usar um novo material. A resistência média anterior era de 206 kg, com um desvio padrão de 12 kg, e a distribuição é normal. Eles fizeram um teste com 30 lajotas e encontraram uma média de 210 kg. Queremos saber se, com 10% de significância, essa média realmente aumentou. Também vamos ver o que acontece se mudarmos o nível de significância. Para resolver isso, vamos usar um teste de hipótese para a média de uma população normal.
Passo 2
Primeiro, estabelecemos as hipóteses. A hipótese nula (H₀) é que a resistência média não aumentou, ou seja, H₀: μ = 206 kg. A hipótese alternativa (H₁) é que a resistência média aumentou, H₁: μ > 206 kg. Como estamos testando se houve um aumento, é um teste unilateral.
Passo 3
Vamos calcular o valor do teste, que no caso é o z-score. A fórmula para o z-score é:
Aqui,
,
,
, e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o valor do z-score é aproximadamente 1.83.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor-p associado a esse z-score. O valor-p representa a probabilidade de obtermos um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Para um z de 1.83 em um teste unilateral, o valor-p é a área à direita de 1.83 na distribuição normal padrão.
Consultando uma tabela de valores z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor-p é aproximadamente 0.0336 (ou 3.36%).
Passo 6
Comparamos o valor-p com o nível de significância α = 10% (0.10). Se o valor-p for menor que α, rejeitamos a hipótese nula. Neste caso, 0.0336 < 0.10, então rejeitamos H₀.
Passo 7
Agora, se mudarmos o nível de significância, por exemplo, para 5% (0.05), verificamos novamente: 0.0336 < 0.05. Ainda assim, rejeitamos H₀. Mas se escolhemos um nível de significância menor, como 2%, então 0.0336 > 0.02 e não rejeitaríamos H₀. Portanto, o resultado do teste pode sim mudar dependendo do nível de significância escolhido.
Resposta
Com um nível de significância de 10%, podemos aceitar que a resistência média das lajotas aumentou, já que o valor-p é aproximadamente 3.36%, que é menor que 10%. Se mudarmos o nível de significância, o resultado pode ser diferente; por exemplo, com 5%, ainda rejeitamos a hipótese nula, mas com 2%, não rejeitamos.