A inspeção de uma amostra de n componentes pode ser vista como os n ensaios de um experimento binomial. O resultado de cada componente testado (ensaio) indicará que ele é classificado como um componente bom ou defeituoso. Suponha que você tenha uma empresa, e esta aceita apenas lotes de determinado fornecedor se os componentes defeituosos de um lote não ultrapassarem 1%. Suponha que uma amostra aleatória de 5 itens de uma remessa recente seja testada.
Suponha que 1% da remessa apresente defeitos. Calcule a probabilidade de nenhum item da amostra estar defeituoso. (valor 0,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com probabilidade binomial, que é usada para calcular a probabilidade de certos resultados em experimentos que têm apenas dois possíveis desfechos: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada componente testado pode ser bom ou defeituoso. A empresa só aceita os lotes se menos de 1% dos componentes forem defeituosos. Queremos calcular a probabilidade de que, ao testar 5 itens, nenhum deles esteja defeituoso, sabendo que 1% dos componentes geralmente têm defeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da probabilidade binomial:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos (no nosso caso, defeitos).
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em um único ensaio (defeito).
  • $ n $ é o número total de ensaios (componentes testados).

Passo 3

Agora, vamos aplicar os valores do nosso problema:
  • $ n = 5 $ (total de componentes testados)
  • $ k = 0 $ (queremos nenhum defeito)
  • $ p = 0,01 $ (1% de defeitos)
Substituindo na fórmula:
n = 5
Simplificando:
  • $ \binom{5}{0} = 1 $
  • $ (0,01)^0 = 1 $
  • $ (0,99)^5 $
Então:
k = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular $ 0,99^5 $:
0,99^5

Resposta

A probabilidade de nenhum dos 5 itens estar defeituoso é aproximadamente 95,1%.

Exercícios relacionados