Um fabricante de máquinas de lavar, sabendo que o tempo de vida de suas máquinas tem distribuição normal com média 2510 dias e desvio padrão 400 dias, oferece garantia de 3.5 anos.
a. Se ele produz 2000 máquinas/mês, quantas espera trocar, por mês, pelo uso da garantia?
b. De quanto deve diminuir a variabilidade para que, mantido o limite de garantia, esse número caia pela metade?
c. Se o fabricante acha que é suficiente que 99,5 % das máquinas durem até a expiração da garantia, qual deveria ser o tempo de garantia?

Passo 1

O tempo de vida X das máquinas segue a distribuição normal com média mu=2510 dias e desvio padrão sigma=400 dias. A garantia dada é de 3,5 anos, ou seja
G = 3,5 times 365 = 1277,5 dias
Para cada parte do problema vamos usar a transformação para a normal padrão
Z = X - musigma,
cuja função de distribuição é Phi(z).

Passo 2

Queremos o número médio de máquinas trocadas por mês, que é
2000 times P(X <= G)
Calculamos
P(X <= G) = P!l(Z <= G - musigmar) = Phi!l(1277,5 - 2510400r) = Phi(-3,08125)
Pela tabela ou calculadora, Phi(-3,08125)approx0,00103. Logo as trocas mensais são
2000 times 0,00103 approx 2,06approx2 máquinas á

Passo 3

Queremos reduzir o desvio padrão para que o número de trocas caia à metade, ou seja que
P(X <= G) = 0,00103 / 2 = 0,000515
Seja sigma' o novo desvio. Então
Phi!l(1277,5 - 2510sigma'r) = 0,000515 Longrightarrow 1277,5 - 2510sigma' = z0,000515,
onde z0,000515approx -3,27. Logo
sigma' = 2510 - 1277,53,27 approx 377 dias
Isso significa uma redução de ;400 - 377 = 23 dias no desvio padrão.

Passo 4

Para que 99,5% das máquinas durem até a expiração da garantia, queremos
P(X > G) = 0,995 Longrightarrow P(X <= G) = 0,005
Chamando z0,005approx -2,5758, obtemos
G - 2510400 = -2,5758 Longrightarrow G = 2510 - 2,5758 times 400 approx 1479,7 dias,
ou seja cerca de 1479,7/365approx4,05 anos.

Resposta

a) Aproximadamente 2 máquinas por mês.
b) O desvio padrão deve cair para cerca de 377 dias (redução de 23 dias).
c) A garantia deveria ser cerca de 1479,7 dias, ou 4,05 anos.

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