Questão 21 (IBGE/2014)

Após análise de sintomatologia, um médico estima que seu paciente tenha uma determinada doença com probabilidade de 70 %. Para confirmar o diagnóstico inicial, ele pede ao paciente que faça um exame tipo A, que dá falso negativo com probabilidade de 20 % e falso positivo com probabilidade de 40 %. O resultado desse exame dá positivo. Entretanto, desconfiado com a alta frequência de falso positivo do exame tipo A, o médico pede novamente que o paciente se submeta a um exame tipo B, cujas probabilidades de falso positivo e falso negativo são ambas de 10 %, independentemente dos resultados do teste A. Novamente o resultado do teste tipo B é positivo.
Qual a probabilidade de que o paciente tenha de fato a doença condicionada aos dois resultados dos exames tipo A e B?
(A) 63125
(B) 4243
(C) 1925
(D) 2122
(E) 1417

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O médico estima que o paciente tenha a doença com probabilidade de 70 %. Para confirmar ele manda o exame A (20 % de falso negativo, 40 % de falso positivo), que deu positivo. Depois pede o exame B (10 % de falso negativo e 10 % de falso positivo), que também deu positivo.
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes, assumindo independência condicional dos resultados dos exames dado o estado “tem/doença” ou “não tem”.

Passo 2

Definindo as probabilidades e explicando a teoria
  1. P(D)=0{,}7 é a probabilidade a priori de doença; P(¬D)=0{,}3 é a priori de não ter.
  2. Para o exame A:
    • sensibilidade = P(A⁺∣D) = 1−0{,}20 = 0{,}80 (prob. de dar positivo se tiver a doença);
    • especificidade = P(A⁻∣¬D) = 1−0{,}40 = 0{,}60 ⇒ P(A⁺∣¬D)=0{,}40 (prob. de falso positivo).
  3. Para o exame B:
    • P(B⁺∣D)=1−0{,}10=0{,}90;
    • P(B⁺∣¬D)=0{,}10.
  4. Importante: como os exames são independentes dado o estado de saúde, podemos multiplicar as probabilidades condicionais para usar o Teorema de Bayes em conjunto.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Bayes aos dois exames
P(D∣A⁺,B⁺) =
P(D),P(A⁺∣D),P(B⁺∣D) P(D),P(A⁺∣D),P(B⁺∣D);+;P(¬D),P(A⁺∣¬D),P(B⁺∣¬D)
Aqui usamos a definição de probabilidade condicional e a independência condicional para multiplicar P(A⁺,B⁺∣D)=P(A⁺∣D)P(B⁺∣D), e o mesmo para ¬D.

Passo 4

Cálculo numérico e simplificação
Numerador = 0{,}7 × 0{,}8 × 0{,}9 = 0{,}504
Denominador = 0{,}504 + (0{,}3 × 0{,}4 × 0{,}1) = 0{,}504 + 0{,}012 = 0{,}516
Portanto
P(D∣A⁺,B⁺) = 0,5040,516 = 504516 = 4243

Resposta

4243

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