Questão 14: Em um armário há
pares de sapatos. Retiram-se ao acaso
pés de sapatos desse armário. Qual a probabilidadede haver entre esses pés, exatamente
pares de sapatos?
Passo 1
Resumindo: há
pares de sapatos (ou seja,
sapatos distintos) e extraímos ao acaso
sapatos sem reposição. Queremos a probabilidade de que, entre esses
sapatos, exatamente
pares completos (isto é, tanto o pé esquerdo quanto o pé direito de
pares) apareçam. O conteúdo principal aqui é contagem combinatória de amostras sem reposição.
Passo 2
Calcular o número total de maneiras de escolher
sapatos entre os
disponíveis. Como todas as seleções de tamanho
são igualmente prováveis,
Passo 3
Contar de quantas maneiras podemos ter exatamente
pares completos:
- Escolher quais
pares virão completos: isso pode ser feito de maneiras. - Dos
pares restantes, precisamos escolher sapatos soltos (ou seja, um sapato por par) para completar o total de . Primeiro escolhemos quais são esses pares soltos: . - De cada um desses
pares soltos, há 2 escolhas possíveis (pé esquerdo ou direito), gerando um fator .
Logo,
Passo 4
A probabilidade pedida é a razão entre os casos favoráveis e o total de escolhas: