Questão 14: Em um armário há n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p pés de sapatos desse armário. Qual a probabilidadede haver entre esses pés, exatamente k pares de sapatos?

Passo 1

Resumindo: há n pares de sapatos (ou seja, 2n sapatos distintos) e extraímos ao acaso p sapatos sem reposição. Queremos a probabilidade de que, entre esses p sapatos, exatamente k pares completos (isto é, tanto o pé esquerdo quanto o pé direito de k pares) apareçam. O conteúdo principal aqui é contagem combinatória de amostras sem reposição.

Passo 2

Calcular o número total de maneiras de escolher p sapatos entre os 2n disponíveis. Como todas as seleções de tamanho p são igualmente prováveis,
Total de escolhas = binom2np

Passo 3

Contar de quantas maneiras podemos ter exatamente k pares completos:
  1. Escolher quais k pares virão completos: isso pode ser feito de binomnk maneiras.
  2. Dos n-k pares restantes, precisamos escolher p-2k sapatos soltos (ou seja, um sapato por par) para completar o total de p. Primeiro escolhemos quais são esses p-2k pares soltos: binomn-k,p-2k,.
  3. De cada um desses p-2k pares soltos, há 2 escolhas possíveis (pé esquerdo ou direito), gerando um fator 2^,p-2k.
    Logo,
Número de casos favoráveis =binomnk,binomn-k,p-2k,,2^,p-2k úá

Passo 4

A probabilidade pedida é a razão entre os casos favoráveis e o total de escolhas:
P(exatamente k pares) = binomnk,binomn-k,p-2k,,2^,p-2k binom2np

Resposta

P(exatamente k pares) = binomnk,binomn-k,p-2k,,2^,p-2k binom2np

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