Questão 13: Uma caixa contém 2 n sorvetes, n de coco e n de chocolate. Em um grupo de 2 n pessoas, a,(a<n) pessoas preferem coco e b,(b<n) pessoas preferem chocolate. Os sorvetes são distribuídos ao acaso. Qual a probabilidade de todas as preferências serem respeitadas?

Passo 1

O problema é de probabilidade e combinatória. Temos 2n sorvetes ( n de coco e n de chocolate) distribuídos aleatoriamente a 2n pessoas, das quais a preferem coco e b preferem chocolate, com a<n e b<n. Queremos a probabilidade de que todas as a pessoas que gostam de coco recebam sabor coco e todas as b que gostam de chocolate recebam sabor chocolate.

Passo 2

Contamos o número total de formas de escolher quem recebe os n sorvetes de coco entre as 2n pessoas. Como os sorvetes de coco são idênticos entre si, esse total é
binom2nn

Passo 3

Para que as preferências sejam todas respeitadas, as a pessoas que preferem coco devem estar entre os escolhidos para coco, e as b que preferem chocolate não podem estar nesse grupo. Restam então 2n - a - b pessoas “neutras” e precisamos selecionar dentre elas os (n - a) lugares de coco restantes. O número de escolhas favoráveis é
binom2n - a - b,n - a,

Passo 4

A probabilidade pedida é o quociente entre o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis:
P = binom2n - a - b,n - a, binom2nn

Resposta

P = binom2n - a - b,n - a,binom2nn

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