Questão 22 (IBGE/2014)

Seja Omega=-2,-1,0,1,2 um espaço amostral para um dado experimento. A menor sigma-álgebra F de subconjuntos de Omega para que X(omega)=omega^2 seja uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade ( Omega, F, P ) é dada por:
(A) F=varnothing, Omega
(B) F=A: A subset Omega
(C) F=0,1,2
(D) F=varnothing,0,1,2, Omega
(E) F=varnothing,0,-1,1,-2,2,-1,0,1,-2,0,2,-2,-1,1,2, Omega

Passo 1

O enunciado dá o espaço amostral
Omega=-2,-1,0,1,2
e a função XcolonOmegatoR definida por
X(omega)=omega^2
Queremos a menor sigma-álgebra F em Omega que torne X mensurável, isto é, que contenha todas as pré-imagens X^-1(B) para B em B(R).

Passo 2

Para achar sigma(X) basta olhar para as pré-imagens de conjuntos que geram a sigma-álgebra de Borel, em particular de singleton. Os valores possíveis de X são
X(omega)in0,1,4
Logo:
X^-1(0)=,omegainOmega:omega^2=0=0,
X^-1(1)=-1,1,
X^-1(4)=-2,2

Passo 3

A sigma-álgebra gerada por X é o conjunto de todas as uniões possíveis desses três átomos 0, -1,1 e -2,2. Portanto
F =varnothing,0,-1,1,-2,2, 0,-1,1,0,-2,2,-1,1,-2,2,Omega

Passo 4

Comparando com as alternativas, vemos que corresponde exatamente à
alternativa (E).

Resposta

(E)

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