(2,0 Pontos). Classifique os pontos
e
da equação e proponha soluções por séries de potência:
Passo 1
O enunciado pede para a equação
classificar os pontos
,
e
quanto à natureza (ordem de singularidade) e, em seguida, propor soluções em forma de séries de potência (ou de Frobenius) em torno de cada ponto.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão
onde
- Em
: tem polo de ordem 1, mas não é analítica (ramificação logarítmica). Logo é um ponto singular essencial (irregular) e não admite Frobenius usual. - Em
: anula em primeira ordem, e têm polos simples. Como e são analíticos em , este é um ponto singular regular. - Em
: mesma análise, pois tem zero simples em , e é analítica localmente (ramo principal) em . Assim também é singular regular.
Passo 3
Em torno de
, definimos
e buscamos uma solução de Frobenius
Substituindo na equação padronizada em função de
, determina-se o indicial (valores de
) e uma relação de recorrência entre os
. O resultado é duas séries de potência em
, correspondendo às duas raízes
do indicial.
Passo 4
Em torno de
, definimos
e usamos de novo Frobenius:
Substituindo na forma padronizada (em
), obtém-se o polinômio indicial para
e uma recorrência para
. Isso gera duas soluções em série de potência em
.
Passo 5
Em
, como a presença de
torna
não analítica, não há Frobenius padrão. Para tentar uma solução formal, poderia-se propor um desenvolvimento com termo logarítmico, por exemplo
mas isso foge do escopo de séries de potência puras e revela a irregularidade em
.
Resposta
Em
: ponto singular irregular (não admite Frobenius sem log).
Em e em
: pontos singulares regulares, com soluções obtidas por séries de Frobenius
Em
respectivamente, onde
e
vêm do indicial e os coeficientes seguem recorrência.