(2,0 Pontos). Classifique os pontos x=0, x=1 e x=-1 da equação e proponha soluções por séries de potência:
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+\frac{2}{x} y^{\prime}+\ln (x) y=0

Passo 1

O enunciado pede para a equação
\bigl(1 - x^{2}\bigr)\,y'' + \frac{2}{x}\,y' + \ln(x)\,y = 0
classificar os pontos x=0, x=1 e x=-1 quanto à natureza (ordem de singularidade) e, em seguida, propor soluções em forma de séries de potência (ou de Frobenius) em torno de cada ponto.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
onde
p(x) = \frac{2/x}{\,1-x^2\,} = \frac{2}{x(1-x^2)}, \qquad q(x) = \frac{\ln(x)}{\,1-x^2\,}.
  • Em x=0: p(x)\sim 2/x tem polo de ordem 1, mas q(x)\sim \ln(x) não é analítica (ramificação logarítmica). Logo x=0 é um ponto singular essencial (irregular) e não admite Frobenius usual.
  • Em x=1: 1-x^2 anula em primeira ordem, p(x) e q(x) têm polos simples. Como (x-1)p(x) e (x-1)^2q(x) são analíticos em x=1, este é um ponto singular regular.
  • Em x=-1: mesma análise, pois 1 - x^2 tem zero simples em -1, e \ln(x) é analítica localmente (ramo principal) em x=-1. Assim x=-1 também é singular regular.

Passo 3

Em torno de x=1, definimos t = x - 1 e buscamos uma solução de Frobenius
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\,t^{n+r}, \quad a_0\neq0.
Substituindo na equação padronizada em função de t, determina-se o indicial (valores de r) e uma relação de recorrência entre os a_n. O resultado é duas séries de potência em t, correspondendo às duas raízes r_1,r_2 do indicial.

Passo 4

Em torno de x=-1, definimos s = x + 1 e usamos de novo Frobenius:
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}b_n\,s^{n+\rho}, \quad b_0\neq0.
Substituindo na forma padronizada (em s), obtém-se o polinômio indicial para \rho e uma recorrência para \{b_n\}. Isso gera duas soluções em série de potência em s.

Passo 5

Em x=0, como a presença de \ln(x) torna q(x) não analítica, não há Frobenius padrão. Para tentar uma solução formal, poderia-se propor um desenvolvimento com termo logarítmico, por exemplo
y(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n\,x^{n+\mu} + \ln(x)\,\sum_{n=0}^\infty d_n\,x^{n+\nu},
mas isso foge do escopo de séries de potência puras e revela a irregularidade em x=0.

Resposta

Em x=0: ponto singular irregular (não admite Frobenius sem log).
Em x=1 e em x=-1: pontos singulares regulares, com soluções obtidas por séries de Frobenius
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,(x-1)^{n+r}, \quad y(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n\,(x+1)^{n+\rho},
respectivamente, onde r e \rho vêm do indicial e os coeficientes seguem recorrência.

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