Em uma linha de produção de rolamentos, o tempo de usinagem de uma peça segue distribuição normal padrão. Deseja-se saber qual a probabilidade de o tempo padronizado estar entre - 1,03 e 1,02 desvios-padrão da média.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo padronizado Z de usinagem segue distribuição normal padrão, ou seja,
Z \sim N(0,1),
e pede a probabilidade de Z ficar entre -1,03 e 1,02. Vamos usar a função de distribuição acumulada \Phi(z) da normal padrão para isso.

Passo 2

Para qualquer a<b em uma normal padrão,
P(a<Z<b)=\Phi(b)-\Phi(a).
No nosso caso, a=-1,03 e b=1,02, então
P(-1,03<Z<1,02)=\Phi(1,02)-\Phi(-1,03).

Passo 3

Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
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\Phi(-1,03)=1-\Phi(1,03),
e assim
P(-1,03<Z<1,02)=\Phi(1,02)-\bigl(1-\Phi(1,03)\bigr) =\Phi(1,02)+\Phi(1,03)-1.

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora), temos aproximadamente \Phi(1,02)=0,8461 e \Phi(1,03)=0,8485. Substituindo,
P(-1,03<Z<1,02)=0,8461+0,8485-1=0,6946.

Resposta

A probabilidade de o tempo padronizado estar entre -1,03 e 1,02 desvios-padrão é aproximadamente 0,6946.

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