Um fabricante produz resistores com resistência descrita por uma variável aleatória normal com média
e desvio padrão
.
a) A função densidade de probabilidade associada à variável aleatória normal
é
.
com
e
. A variável aleatória padronizada
possui função densidade de probabilidade
. Escreva a expressão para
.
a) A função densidade de probabilidade associada à variável aleatória normal
com
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória normal $ X $ que representa a resistência dos resistores produzidos, com média $ \mu = 1000 , \Omega $ e desvio padrão $ \sigma = 10 , \Omega $. O objetivo é encontrar a função densidade de probabilidade da variável aleatória padronizada $ Z $.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como padronizar uma variável aleatória normal e como isso afeta a função densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa padronizar uma variável aleatória. A padronização transforma a variável original $ X $ em uma nova variável $ Z $ que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronizar $ X $ é:
Substituindo os valores de $ \mu $ e $ \sigma $:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função densidade de probabilidade da variável $ Z $. Como $ Z $ é uma variável padronizada, ela segue a distribuição normal padrão. A função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão é dada por:
Essa é a função que descreve a distribuição de $ Z $.
Resposta
A função densidade de probabilidade da variável padronizada $ Z $ é: