Suponha que a quantidade de grãos lançada por minuto por uma máquina semeadora é uma variável aleatória normal com desvio padrão igual a 25 . Para estimar a média mu dessa variável medimos as quantidades lançadas em 20 minutos:
1198115912171228125011891194122211971206
1208121312371170119711661193121811881236
O fabricante da máquina garante que a média da quantidade de sementes lançadas é igual a 1200. Com base no intervalo construído na letra b) você diria que o fabricante está correto com 95 por cento de confiança?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com estatística, especificamente com distribuição normal. O problema fala sobre a quantidade de grãos que uma máquina semeadora lança por minuto. Sabemos que essa quantidade varia normalmente e tem um desvio padrão de 25. Nosso objetivo aqui é ver se a média que o fabricante disse (1200 grãos por minuto) está correta, usando os dados que medimos em 20 minutos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das quantidades que medimos. Para isso, somamos todos os valores e dividimos pelo número de medições (que são 20).
Dados:
1198, 1159, 1217, 1228, 1250, 1189, 1194, 1222, 1197, 1206,
1208, 1213, 1237, 1170, 1197, 1166, 1193, 1218, 1188, 1236.
Vamos somar todos esses números:
1198 + 1159 + 1217 + 1228 + 1250 + 1189 + 1194 + 1222 + 1197 + 1206 +
1208 + 1213 + 1237 + 1170 + 1197 + 1166 + 1193 + 1218 + 1188 + 1236 = 24018
Agora, dividimos pela quantidade de medições:
Média = 24018 / 20 = 1200.9

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão mostra o quanto a média da amostra pode variar da média verdadeira da população. A fórmula é:
Erro padrão = sigmaraizn ã
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população (25)
  • n é o tamanho da amostra (20)
Então:
Erro padrão = 25raiz20 approx 254.472 approx 5.59 ã

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico para um intervalo de confiança de 95%. Como a distribuição é normal, usamos o valor z correspondente a 95% de confiança, que é aproximadamente 1.96.

Passo 5

Com o erro padrão e o valor crítico, podemos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
Intervalo de Confiança = barx pm (z times Erro padrão) çã
Onde barx é a média da amostra (1200.9).
Então:
Intervalo de Confiança = 1200.9 pm (1.96 times 5.59) ç
Intervalo de Confiança = 1200.9 pm 10.96 ç
Isso nos dá:
1190.94 <= mu <= 1211.86

Passo 6

Agora, vamos verificar se a média que o fabricante afirmou (1200 grãos por minuto) está dentro desse intervalo de confiança. Nosso intervalo vai de aproximadamente 1190.94 a 1211.86.
Como 1200 está dentro desse intervalo, isso significa que, com 95% de confiança, a média da população pode ser 1200.

Resposta

Sim, com 95% de confiança, a média de 1200 grãos por minuto está dentro do intervalo de confiança calculado, indicando que o fabricante está correto.

Exercícios relacionados