(1,0) A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória X é
f(x)=c29(4-x), 1 <= x <= 4 0, caso contrário á
a) Calcule a probabilidade P(1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função densidade de probabilidade f(x) definida por f(x)=29(4 - x) para 1 <= x <= 4 e zero em outros casos. A questão pede para calcular a probabilidade de que a variável aleatória X esteja entre 1 e 2,5, ou seja, P(1 < x < 2,5).
Aqui, estamos lidando com probabilidade contínua e funções densidade de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função f(x) nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para variáveis contínuas, a probabilidade de X estar entre dois valores é a área sob a curva da função densidade entre esses valores. Então, vamos montar a integral de f(x) de 1 até 2,5:
P(1 < x < 2,5) = integral1^2,5 f(x) , dx = integral1^2,5 29(4 - x) , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral:
integral 29(4 - x) , dx = 29 (4x - x^22) + C
Aplicando os limites de 1 a 2,5:
P(1 < x < 2,5) = 29 [4(2,5) - (2,5)^22 - (4(1) - 1^22)]

Passo 4

Vamos calcular os valores:
4 times 2,5 = 10
(2,5)^22 = 6,252 = 3,125
4 times 1 = 4
1^22 = 0,5
Substituindo de volta na expressão:
P(1 < x < 2,5) = 29 [10 - 3,125 - (4 - 0,5)] = 29 (10 - 3,125 - 3,5) = 29 times 3,375 = 6,759 = 0,75

Resposta

A probabilidade P(1 < x < 2,5) é igual a 0,75.

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