Sejam u e v dois vetores nĩo nulos do \mathbb{R}^{2}. Se não existe nenhum t \in \mathbb{R} tal que u=t v. mostrar que \mathbf{R}^{\mathbf{2}} é soma direta dos sub-espaços |\mathbf{u}| e |\mathbf{v}|.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois vetores não nulos u,v\in\mathbb{R}^2 e sabemos que não existe t\in\mathbb{R} tal que u=t\,v. Ou seja, u e v são linearmente independentes. O que queremos mostrar é que
\mathbb{R}^2 \;=\;\operatorname{span}\{u\}\;\oplus\;\operatorname{span}\{v\},
isto é, que todo vetor de \mathbb{R}^2 pode ser escrito de modo único como combinação linear de u e v.

Passo 2

Mostramos primeiro que a soma dos subespaços gera \mathbb{R}^2. Como u e v são linearmente independentes em \mathbb{R}^2, eles formam uma base de \mathbb{R}^2. Logo, dado qualquer w\in\mathbb{R}^2, existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
w = \alpha\,u + \beta\,v.
Isto mostra que
\operatorname{span}\{u\} + \operatorname{span}\{v\} \;=\;\mathbb{R}^2.

Passo 3

Agora precisamos verificar que a representação é única, ou seja,
\operatorname{span}\{u\}\cap\operatorname{span}\{v\}=\{0\}.
Se x pertence à interseção, então x=\alpha\,u e também x=\beta\,v para alguns \alpha,\beta. Então
\alpha\,u = \beta\,v.
Se \alpha\neq0, isolamos u = (\beta/\alpha)\,v, o que contradiz a hipótese de que não existe escalar que transforme v em u. Logo só resta \alpha=0, e então x=0. Isso prova que a interseção é trivial.

Resposta

\displaystyle \mathbb{R}^2 = \operatorname{span}\{u\}\oplus \operatorname{span}\{v\}.

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