Sejam u e
dois vetores nĩo nulos do
. Se não existe nenhum
tal que
. mostrar que
é soma direta dos sub-espaços
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos dois vetores não nulos
e sabemos que não existe
tal que
. Ou seja,
e
são linearmente independentes. O que queremos mostrar é que
isto é, que todo vetor de
pode ser escrito de modo único como combinação linear de
e
.
Passo 2
Mostramos primeiro que a soma dos subespaços gera
. Como
e
são linearmente independentes em
, eles formam uma base de
. Logo, dado qualquer
, existem escalares
tais que
Isto mostra que
Passo 3
Agora precisamos verificar que a representação é única, ou seja,
Se
pertence à interseção, então
e também
para alguns
. Então
Se
, isolamos
, o que contradiz a hipótese de que não existe escalar que transforme
em
. Logo só resta
, e então
. Isso prova que a interseção é trivial.