Em uma plantação de Eucalipto,
das árvores estão sendo atacadas por formigas. Retira-se, ao acaso, uma amostra de 5 árvores. Apresente:
d) determine as probabilidades
e
;
d) determine as probabilidades
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma plantação de Eucalipto onde 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. A missão é tirar uma amostra de 5 árvores ao acaso e descobrir:
d) As probabilidades de exatamente 4 árvores estarem atacadas, ou seja,
, e a probabilidade de mais de 3 árvores estarem atacadas, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima pra situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois resultados possíveis (no nosso caso, atacada ou não), e cada tentativa é independente das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os parâmetros da Distribuição Binomial:
- n: número de tentativas (árvores na amostra) = 5
- p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (árvore ser atacada) = 0,40
- q: probabilidade de fracasso (árvore não ser atacada) = 1 - p = 0,60
A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente k sucessos é:
Onde
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 3
Vamos calcular
, ou seja, a probabilidade de exatamente 4 árvores serem atacadas.
Aplicando a fórmula:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que significa a probabilidade de mais de 3 árvores serem atacadas. Isso inclui
e
.
Então,
Vamos já calcular
usando a mesma fórmula:
Sabendo que:
Então,
Passo 5
Vamos agora calcular os valores numéricos.
Primeiro,
:
Ou seja, 7,68%.
Agora,
:
Ou seja, 1,024%.
Então,
é:
Ou seja, 8,704%.
Resposta
A probabilidade de exatamente 4 árvores serem atacadas é de 7,68% e a probabilidade de mais de 3 árvores serem atacadas é de 8,704%.