Em uma plantação de Eucalipto, 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. Retira-se, ao acaso, uma amostra de 5 árvores. Apresente:
d) determine as probabilidades P(X=4) e P(X>3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma plantação de Eucalipto onde 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. A missão é tirar uma amostra de 5 árvores ao acaso e descobrir:
d) As probabilidades de exatamente 4 árvores estarem atacadas, ou seja, P(X=4), e a probabilidade de mais de 3 árvores estarem atacadas, ou seja, P(X>3).
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima pra situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois resultados possíveis (no nosso caso, atacada ou não), e cada tentativa é independente das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da Distribuição Binomial:
  • n: número de tentativas (árvores na amostra) = 5
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (árvore ser atacada) = 0,40
  • q: probabilidade de fracasso (árvore não ser atacada) = 1 - p = 0,60
A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente k sucessos é:
P(X = k) = dbinomnk times p^k times q^n - k
Onde dbinomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 3

Vamos calcular P(X=4), ou seja, a probabilidade de exatamente 4 árvores serem atacadas.
Aplicando a fórmula:
P(X = 4) = dbinom54 times (0,40)^4 times (0,60)^5 - 4
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
dbinom54 = 5
Então,
P(X = 4) = 5 times (0,40)^4 times (0,60)^1

Passo 4

Agora, vamos calcular P(X>3), que significa a probabilidade de mais de 3 árvores serem atacadas. Isso inclui P(X=4) e P(X=5).
Então,
P(X>3) = P(X=4) + P(X=5)
Vamos já calcular P(X=5) usando a mesma fórmula:
P(X = 5) = dbinom55 times (0,40)^5 times (0,60)^0
Sabendo que:
dbinom55 = 1
Então,
P(X = 5) = 1 times (0,40)^5 times 1 = (0,40)^5

Passo 5

Vamos agora calcular os valores numéricos.
Primeiro, P(X=4):
P(X = 4) = 5 times (0,40)^4 times 0,60 = 5 times 0,0256 times 0,60 = 5 times 0,01536 = 0,0768
Ou seja, 7,68%.
Agora, P(X=5):
P(X = 5) = (0,40)^5 = 0,01024
Ou seja, 1,024%.
Então, P(X>3) é:
P(X>3) = 0,0768 + 0,01024 = 0,08704
Ou seja, 8,704%.

Resposta

A probabilidade de exatamente 4 árvores serem atacadas é de 7,68% e a probabilidade de mais de 3 árvores serem atacadas é de 8,704%.

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