Seja uma variável aleatória contínua com função de probabilidade dada por:
onde k é uma constante. Pede-se:
a) Determine k de modo que a função f(x) seja uma função densidade de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o valor da constante $ k $ que faz com que a função $ f(x) $ seja uma função densidade de probabilidade. Isso envolve conceitos de probabilidade contínua, especificamente sobre funções densidade. Para resolver isso, vamos precisar garantir que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio seja igual a 1, que é uma condição essencial para qualquer função densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para $ f(x) $ ser uma função densidade válida, a integral dela de $ -\infty $ a $ +\infty $ tem que ser igual a 1. No nosso caso, $ f(x) $ é zero fora do intervalo [0, 1], então só precisamos integrar de 0 a 1.
Passo 3
Então, configuramos a integral assim:
integral0^1 k x^2 , dx = 1
Nossa meta agora é resolver essa integral para encontrar $ k $.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
integral0^1 k x^2 , dx = k integral0^1 x^2 , dx
A integral de $ x^{2} $ é $ \frac{x^{3}}{3} $, então:
x^2
Passo 5
Agora, igualamos isso a 1 conforme a condição:
k ( 13 ) = 1
Para encontrar $ k $, só precisamos isolar ele.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 3:
k = 3
Resposta
O valor da constante $ k $ que torna $ f(x) $ uma função densidade de probabilidade é $ k = 3 $.