Faça a correspondência entre cada item e sua definição.
(A) Subespaço vetorial
(B) Conjunto linearmente independente
(C) Base de um espaço vetorial
(D) Dimensão de um espaço vetorial
(E) Transformação linear
(F) Núcleo de uma transformação linear
(G) Isomorfismo de espaços vetoriais
(H) Operador diagonalizável
( ) Aplicação entre espaços vetoriais que preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
( ) Subconjunto do espaço vetorial que gera todo o espaço e ainda é linearmente independente.
( ) Subconjunto dos vetores do domínio de uma transformação linear cuja imagem é o vetor nulo.
( ) Subconjunto de um espaço vetorial que com as mesmas operações do espaço é um espaço vetorial.
( ) Aplicação bijetora entre espaços vetoriais que preserva a adição e a multiplicação por escalar.
( ) Transformação linear de um espaço nele próprio tal que existe uma base desse espaço formada por autovetores da transformação.
( ) Menor quantidade de vetores de um espaço vetorial que gera todo o espaço e é linearmente independente.
( ) Conjunto de vetores de um espaço cuja única forma de combinação linear destes resultando no vetor nulo é com os escalares todos nulos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa fazer a correspondência entre os itens (A) a (H) e suas definições. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos como subespaço vetorial, transformação linear, base de um espaço vetorial, entre outros. Vamos dar uma olhada em cada definição e ver qual letra combina com ela.

Passo 2

Vamos começar pela primeira definição:
Definição 1: Aplicação entre espaços vetoriais que preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Aqui, estamos falando de funções que mantêm a estrutura dos espaços vetoriais quando aplicadas. Isso é uma transformação linear. Portanto, corresponde ao item (E).

Passo 3

Definição 2: Subconjunto do espaço vetorial que gera todo o espaço e ainda é linearmente independente.
Esse conjunto é conhecido como uma base de um espaço vetorial. Ele é formado por vetores que são suficientes para gerar todo o espaço e nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros. Então, essa definição corresponde ao item (C).

Passo 4

Definição 3: Subconjunto dos vetores do domínio de uma transformação linear cuja imagem é o vetor nulo.
Isso se refere ao núcleo de uma transformação linear, que é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor nulo pela transformação. Assim, essa definição é do item (F).

Passo 5

Definição 4: Subconjunto de um espaço vetorial que com as mesmas operações do espaço é um espaço vetorial.
Esse é o conceito de subespaço vetorial, que é essencialmente um “espaço menor” dentro de um espaço maior que ainda satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. Logo, essa definição corresponde ao item (A).

Passo 6

Definição 5: Aplicação bijetora entre espaços vetoriais que preserva a adição e a multiplicação por escalar.
Uma função que é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora) e preserva as operações vetoriais é um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto, essa definição é do item (G).

Passo 7

Definição 6: Transformação linear de um espaço nele próprio tal que existe uma base desse espaço formada por autovetores da transformação.
Quando uma transformação linear pode ser representada por uma matriz diagonal em alguma base, dizemos que ela é diagonalizável. Assim, essa definição corresponde ao item (H).

Passo 8

Definição 7: Menor quantidade de vetores de um espaço vetorial que gera todo o espaço e é linearmente independente.
Isso também é uma base de um espaço vetorial, mas estamos falando especificamente da menor quantidade de vetores necessários, que define a dimensão do espaço. Então, essa definição é do item (D).

Passo 9

Definição 8: Conjunto de vetores de um espaço cuja única forma de combinação linear destes resultando no vetor nulo é com os escalares todos nulos.
Esse é o conceito de conjunto linearmente independente, onde nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros. Portanto, essa definição corresponde ao item (B).

Resposta

A correspondência correta é:
  1. (E)
  2. (C)
  3. (F)
  4. (A)
  5. (G)
  6. (H)
  7. (D)
  8. (B)

Exercícios relacionados