Seja T: R^3 R^3 um operador linear dado por T(x, y, z)=(x+2 y+z, 3 y+z,-z).
Determine, caso existam, os autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (,x + 2y + z,;3y + z,;-z,)
O objetivo é encontrar todos os vetores não-nulos vinR^3 tais que
T(v) = lambda,v,
isto é, achar os autovalores lambda e os respectivos autovetores.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz de T na base canônica. Observando
T(e1) = (1,0,0), T(e2) = (2,3,0), T(e3) = (1,1,-1),
temos
A = 1 & 2 & 1 0 & 3 & 1 0 & 0 & -1 ,
onde A representa T.

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 2 & 1 0 & 3-lambda & 1 0 & 0 & -1-lambda =(1-lambda),(3-lambda),(-1-lambda)

Passo 4

As raízes do polinômio característico são
1-lambda=0;Rightarrow;lambda=1, 3-lambda=0;Rightarrow;lambda=3, -1-lambda=0;Rightarrow;lambda=-1

Passo 5

Para cada [\lambda) resolvemos .
Caso :
Da segunda equação vem . O parâmetro livre é , logo

Passo 6

**Caso
Da segunda equação , isto é, . Logo

Passo 7

**Caso
Da segunda equação (z=-4y]. Substituindo na primeira:

Logo

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
lambda=1,;autovetores v=x,(1,0,0),;xneq0;
lambda=3,;autovetores v=x,(1,1,0),;xneq0;
lambda=-1,;autovetores v=x,(1,1,-4),;xneq0

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