Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm u constante e quais têm v constante.
\mathbf{r}(u, v)=\langle u, \operatorname{sen}(u+v), \operatorname{sen} v\rangle,
-\pi \leqslant u \leqslant \pi,-\pi \leqslant v \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede para usarmos um computador (por exemplo Python com Matplotlib) para traçar a superfície parametrizada
\mathbf{r}(u,v)=\langle u,\;\sin(u+v),\;\sin v\rangle
no domínio
-\pi\le u\le\pi,\quad -\pi\le v\le\pi,
e depois, na impressão desse gráfico, identificar quais curvas da grade têm u constante e quais têm v constante. Vamos dividir assim: primeiro geramos a malha e o plot; depois destacamos (com cores) as curvas de cada tipo.

Passo 2

Definimos as variáveis e a malha em Python. Criamos dois vetores uniformes em \,u e em \,v e usamos numpy.meshgrid para obter a superfície inteira:
import numpy as np
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt

# domínio dos parâmetros
u = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
v = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
U, V = np.meshgrid(u, v)

# coordenadas da superfície
X = U
Y = np.sin(U + V)
Z = np.sin(V)

Passo 3

Criamos a figura 3D e, em vez de usar apenas wireframe genérico, vamos desenhar separadamente:
  • Curvas de u constante (mantemos u fixo e fazemos v variar),
  • Curvas de v constante (mantemos v fixo e fazemos u variar).
    Dessa forma podemos colorir cada tipo de curva de modo distinto.
fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')

# número de linhas de malha que vamos desenhar para cada direção
\(n_lines =11 u_vals\) = np.linspace(-np.pi, np.pi, \(n_lines\))
\(v_vals\) = np.linspace(-np.pi, np.pi, \(n_lines\))

# 1) Curvas u = constante em vermelho
for u0 in \(u_vals\):
 \(v_line\) = np.linspace(-np.pi, np.pi, 200)
 \(x_line\) = u0 * np.\(ones_like\)(\(v_line\))
 \(y_line\) = np.sin(u\(0+ v_line\))
 \(z_line\) = np.sin(\(v_line\))
 ax.plot(\(x_line\), \(y_line\), \(z_line\), color='red', linewidth\(=1\))

# 2) Curvas v = constante em azul
for v0 in \(v_vals\):
 \(u_line\) = np.linspace(-np.pi, np.pi, 200)
 \(x_line\) = \(u_line y_line\) = np.sin(\(u_line\) + v0)
 \(z_line\) = np.sin(v0) * np.\(ones_like\)(\(u_line\))
 ax.plot(\(x_line\), \(y_line\), \(z_line\), color='blue', linewidth\(=1\))

ax.\(set_xlabel\)('x = u')
ax.\(set_ylabel\)('y = sin(u+v)')
ax.\(set_zlabel\)('z = sin(v)')
plt.title('Superfície e curvas de malha (u-const em vermelho, v-const em azul)')
plt.show()

Passo 4

Ao exibir esse gráfico, teremos:
  • As curvas traçadas em vermelho são aquelas em que u está fixo (logo u=\text{const} e v varia).
  • As curvas traçadas em azul são aquelas em que v está fixo (logo v=\text{const} e u varia).

Resposta

Na impressão do gráfico:
  • Curvas vermelhas u constante (variação em v).
  • Curvas azuis v constante (variação em u).

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