Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm
constante e quais têm
constante.
,
Passo 1
O enunciado pede para usarmos um computador (por exemplo Python com Matplotlib) para traçar a superfície parametrizada
no domínio
e depois, na impressão desse gráfico, identificar quais curvas da grade têm
constante e quais têm
constante. Vamos dividir assim: primeiro geramos a malha e o plot; depois destacamos (com cores) as curvas de cada tipo.
Passo 2
Definimos as variáveis e a malha em Python. Criamos dois vetores uniformes em
e em
e usamos
numpy.meshgrid
para obter a superfície inteira:import numpy as np
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
# domínio dos parâmetros
u = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
v = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
U, V = np.meshgrid(u, v)
# coordenadas da superfície
X = U
Y = np.sin(U + V)
Z = np.sin(V)
Passo 3
Criamos a figura 3D e, em vez de usar apenas wireframe genérico, vamos desenhar separadamente:
- Curvas de u constante (mantemos u fixo e fazemos v variar),
- Curvas de v constante (mantemos v fixo e fazemos u variar).
Dessa forma podemos colorir cada tipo de curva de modo distinto.
fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
# número de linhas de malha que vamos desenhar para cada direção
\(n_lines =11 u_vals\) = np.linspace(-np.pi, np.pi, \(n_lines\))
\(v_vals\) = np.linspace(-np.pi, np.pi, \(n_lines\))
# 1) Curvas u = constante em vermelho
for u0 in \(u_vals\):
\(v_line\) = np.linspace(-np.pi, np.pi, 200)
\(x_line\) = u0 * np.\(ones_like\)(\(v_line\))
\(y_line\) = np.sin(u\(0+ v_line\))
\(z_line\) = np.sin(\(v_line\))
ax.plot(\(x_line\), \(y_line\), \(z_line\), color='red', linewidth\(=1\))
# 2) Curvas v = constante em azul
for v0 in \(v_vals\):
\(u_line\) = np.linspace(-np.pi, np.pi, 200)
\(x_line\) = \(u_line y_line\) = np.sin(\(u_line\) + v0)
\(z_line\) = np.sin(v0) * np.\(ones_like\)(\(u_line\))
ax.plot(\(x_line\), \(y_line\), \(z_line\), color='blue', linewidth\(=1\))
ax.\(set_xlabel\)('x = u')
ax.\(set_ylabel\)('y = sin(u+v)')
ax.\(set_zlabel\)('z = sin(v)')
plt.title('Superfície e curvas de malha (u-const em vermelho, v-const em azul)')
plt.show()
Passo 4
Ao exibir esse gráfico, teremos:
- As curvas traçadas em vermelho são aquelas em que
está fixo (logo e varia). - As curvas traçadas em azul são aquelas em que
está fixo (logo e varia).
Resposta
Na impressão do gráfico:
- Curvas vermelhas →
constante (variação em ). - Curvas azuis →
constante (variação em ).