Faça a dedução da equação 3.1 para lentes delgadas. Dica: considere a superfície de cada lente separadamente, e use a imagem formada pela primeira superfície como um objeto para a segunda.

Passo 1

O enunciado pede deduzir a equação de lentes delgadas (equação 3.1) a partir da refração em duas superfícies esféricas. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Gauss para refração numa superfície esférica:
\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}
onde n_1 e n_2 são os índices de refração antes e depois da superfície, s é a distância do objeto até a superfície, s' é a distância da imagem e R o raio de curvatura (positivos conforme a convenção de Gauss).

Passo 2

Aplique a fórmula de Gauss na primeira superfície da lente, que separa ar ( n_1=1) do vidro ( n_2=n), com raio R_1. Para um objeto real à distância s, forma-se uma imagem intercalar em s'_1. Logo,
\frac{1}{s}+\frac{n}{s'_1}=\frac{n-1}{R_1}.
Reescrevendo,
\frac{n}{s'_1}=\frac{n-1}{R_1}-\frac{1}{s}.

Passo 3

Essa imagem intercalar atua como “objeto” para a segunda superfície. Como a espessura é desprezível, sua distância até a segunda superfície é
s_2=-s'_1
(sinal negativo porque está do lado interno). Agora a refração vai de vidro ( n_1=n) para ar ( n_2=1), com raio R_2. Aplicando Gauss:
\frac{n}{s_2}+\frac{1}{s'}=\frac{1-n}{R_2}.
Substituindo s_2=-s'_1 e a expressão de n/s'_1 do passo anterior:
\frac{n}{-s'_1}+\frac{1}{s'}=\frac{1-n}{R_2} \quad\Longrightarrow\quad -\Bigl(\frac{n-1}{R_1}-\frac{1}{s}\Bigr)+\frac{1}{s'}=\frac{1-n}{R_2}.

Passo 4

Simplifique a equação do passo anterior:
-\frac{n-1}{R_1}+\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1-n}{R_2}.
Note que (1-n)=-\,(n-1), então
-\frac{n-1}{R_1}+\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=-\frac{n-1}{R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=(n-1)\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr).
Definindo a distância focal f como o ponto imagem para objeto no infinito ( s\to\infty e s'=f), obtemos a forma clássica da equação de lentes delgadas:
\frac{1}{f}=(n-1)\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr).

Resposta

\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=(n-1)\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr), \qquad \frac{1}{f}=(n-1)\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr).

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