Uma onda estacionária é formada pela superposição de duas ondas senoidais se propagando em sentidos opostos. Sendo assim, considere as funções
f_{1}(z, t)=A \cos (k z-\omega t)
e
f_{2}(z, t)=A \cos (k z+\omega t)
como sendo equações que descrevem as ondas incidente e refletida. Mostre que a onda estacionária observada (combinação linear de f_{1} e f_{2} ) também satisfaz a equação de onda.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas planas unidimensionais
f_{1}(z,t)=A\cos(kz-\omega t),
f_{2}(z,t)=A\cos(kz+\omega t)
e diz que a onda estacionária é
f(z,t)=f_{1}(z,t)+f_{2}(z,t).
O objetivo é mostrar que f satisfaz a equação de onda unidimensional
\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}
onde v é a velocidade de propagação, e sabe-se que v=\omega/k.

Passo 2

Mostramos primeiro que uma função genérica
g(z,t)=A\cos\bigl(kz\mp\omega t\bigr)
satisfaz a equação de onda. Calculemos as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}g}{\partial z^{2}} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-Ak\sin(kz\mp\omega t)\bigr) =-Ak^{2}\cos(kz\mp\omega t) =-k^{2}\,g,
\frac{\partial^{2}g}{\partial t^{2}} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\pm A\omega\sin(kz\mp\omega t)\bigr) =-A\omega^{2}\cos(kz\mp\omega t) =-\omega^{2}\,g.
Substituindo na equação de onda, exige-se
-k^{2}g \;=\;\frac{1}{v^{2}}\,(-\omega^{2}g) \quad\Longrightarrow\quad k^{2}=\frac{\omega^{2}}{v^{2}},
que coincide com v=\omega/k. Logo cada uma de f_{1} e f_{2} satisfaz a equação de onda.

Passo 3

Como a equação de onda é linear, isto é, se \mathcal{L} é o operador diferencial
\mathcal{L}[h]\equiv\frac{\partial^{2}h}{\partial z^{2}}-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}h}{\partial t^{2}},
valores h_{1} e h_{2} tais que \mathcal{L}[h_{1}]=0 e \mathcal{L}[h_{2}]=0 implicam
\mathcal{L}[h_{1}+h_{2}] =\mathcal{L}[h_{1}]+\mathcal{L}[h_{2}] =0+0=0.
Como vimos em

Passo 4

\mathcal{L}[f_{1}+f_{2}]=0.

Resposta

A superposição
f(z,t)=f_{1}(z,t)+f_{2}(z,t)
satisfaz a equação de onda porque cada onda componente a satisfaz e a equação é linear.

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