Uma onda estacionária é formada pela superposição de duas ondas senoidais se propagando em sentidos opostos. Sendo assim, considere as funções
e
como sendo equações que descrevem as ondas incidente e refletida. Mostre que a onda estacionária observada (combinação linear de
e
) também satisfaz a equação de onda.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas planas unidimensionais
e diz que a onda estacionária é
O objetivo é mostrar que
satisfaz a equação de onda unidimensional
onde
é a velocidade de propagação, e sabe-se que
.
Passo 2
Mostramos primeiro que uma função genérica
satisfaz a equação de onda. Calculemos as segundas derivadas:
Substituindo na equação de onda, exige-se
que coincide com
. Logo cada uma de
e
satisfaz a equação de onda.
Passo 3
Como a equação de onda é linear, isto é, se
é o operador diferencial
valores
e
tais que
e
implicam
Como vimos em
Passo 4
Resposta
A superposição
satisfaz a equação de onda porque cada onda componente a satisfaz e a equação é linear.