a. Uma outra notação para o vetor é [ll-4 & 3].
b. Os pontos do plano que correspondem a [c-2 5]e[c-5 2] estão numa mesma reta pela origem.
c. O vetor 12 v1 é um exemplo de uma combinação linear dos vetores v1 e v2.
d. O conjunto solução do sistema linear cuja matriz completa é [a1 a2 a3 b] é igual ao conjunto solução da equação x1 a1+x2 a2+x3 a3=b.
e. O conjunto Spanu, v pode sempre ser visualizado como sendo um plano pela origem.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações (a)–(e) sobre vetores, combinação linear, solução de sistemas e espaços gerados. Nosso objetivo é decidir se cada afirmação é verdadeira ou falsa, usando conceitos de notação de vetores, colinearidade, combinação linear e dimensão de spans.
Passo 2
Afirmação (a): “Uma outra notação para o vetor -43 é -4 & 3.”
A primeira é um vetor coluna em R^2, a segunda é um vetor linha em R^2. Esses dois objetos são diferentes: um é elemento de R^2 visto como coluna e o outro como linha. Logo, (a) é falsa.
Passo 3
Afirmação (b): “Os pontos do plano que correspondem a -25 e -52 estão numa mesma reta pela origem.”
Dois vetores são colineares se um é múltiplo escalar do outro. Aqui, se existisse k tal que
-52 = k-25,
teríamos -5=-2k e 2=5k, dando k=2,5 na segunda equação e k=2,5 na primeira daria -2cdot2,5=-5, mas 5cdot2,5=12,5neq2. Não existe único k. Logo, não são colineares e (b) é falsa.
Passo 4
Afirmação (c): “O vetor tfrac12 v1 é um exemplo de uma combinação linear dos vetores v1 e v2.”
Basta escrever
tfrac12 v1 = tfrac12, v1 + 0cdot v2,
que mostra ser combinação linear de v1 e v2. Logo, (c) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “O conjunto solução do sistema linear cuja matriz completa é [ a1 a2 a3 b] é igual ao conjunto solução da equação x1 a1+x2 a2+x3 a3= b.”
Por definição, o sistema A x= b com colunas a1, a2, a3 é exatamente a equação x1 a1+x2 a2+x3 a3= b. As soluções coincidem. Logo, (d) é verdadeira.
Passo 6
Afirmação (e): “O conjunto Span u, v pode sempre ser visualizado como sendo um plano pela origem.”
Isto só vale quando u e v são linearmente independentes. Se forem dependentes, o span é uma reta pela origem. Como a afirmação diz “sempre”, ela é falsa.