Faça a diagonalização A=P D P^-1 da matriz abaixo:
A=[ll -2 & -1 -2 & -3 ]
Os autovalores desta matriz são -4 e -1 . Encontre as matrizes P, D e P^-1.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = -2 & -1 -2 & -3
usando a forma ;A = P,D,P^-1. Já temos os autovalores lambda1=-4 e lambda2=-1, e o conteúdo envolve achar vetores próprios, montar P e D e calcular P^-1.

Passo 2

Para lambda1=-4 resolvemos
(A - lambda1I),v = (A + 4I),v = 0
Temos
A + 4I = -2+4 & -1 -2 & -3+4 = 2 & -1 -2 & 1
Da equação 2x - y = 0 vem y = 2x. Um vetor próprio conveniente é
v1 = 12

Passo 3

Para lambda2=-1 resolvemos
(A - lambda2I),v = (A + I),v = 0
Temos
A + I = -2+1 & -1 -2 & -3+1 = -1 & -1 -2 & -2
Da equação -x - y = 0 vem y = -x. Um vetor próprio conveniente é
v2 = 1-1

Passo 4

Formamos a matriz de mudança de base P com colunas v1 e v2, e a matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
P = 1 & 1 2 & -1, D = -4 & 0 0 & -1

Passo 5

Calculamos det P = 1cdot(-1) - 1cdot2 = -3. Logo
P^-1 = 1det P -1 & -1 -2 & 1 = 1-3 -1 & -1 -2 & 1 = tfrac13 & tfrac13[6pt] tfrac23 & -tfrac13 ]

Resposta

P = 1 & 1 2 & -1 D = -4 & 0 0 & -1 P^-1 = tfrac13 & tfrac13[4pt]tfrac23 & -tfrac13]

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