Faça o diagrama de orbitais moleculares para o
. Escreva a função de onda para o estado fundamental e para o primeiro estado excitado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Fazer o diagrama de orbitais moleculares para a molécula
. - Escrever a função de onda (função de duas partículas, i.e., dos dois elétrons) para o estado fundamental e para o primeiro estado excitado.
Informações relevantes (tudo que temos do problema):
- A molécula tem dois átomos de hidrogênio idênticos, cada um com um orbital atômico
. Vou chamar esses orbitais de e , centrados nos núcleos e . - Existem dois elétrons a serem ocupados nos orbitais moleculares resultantes da combinação linear dos
. - Não foi dada nenhuma aproximação numérica (por ex. valores de integrais). Então vou usar a forma geral com o parâmetro de sobreposição
quando necessário e também mostrarei a forma simplificada considerando pequeno (ou órbitais quase ortogonais), para você poder aplicar na prova sem complicação.
Passo 2
Primeiro, como se constrói o diagrama de orbitais moleculares (MO) para
— ideia física com poucos passos:
- Pegamos os dois orbitais atômicos
, e . - Formamos combinações lineares simétricas e antissimétricas: a combinação simétrica baixa a energia (constitui o orbital de ligação) e a combinação antissimétrica aumenta a energia (orbital ligante/antiligante).
Isso é o método LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals). Vou escrever as combinações normalizadas a seguir.
Passo 3
Definição e normalização das orbitais moleculares (fórmulas essenciais).
- Defino a sobreposição entre os AOs como
Esse
indica quanto
e
se “misturam”. Está entre
(órbitais muito separados/ortogonais) e
(idênticos, caso extremo não físico).
- As duas MOs resultantes são:
Os fatores de normalização são obtidos impondo
. Fazendo as contas (usando
e
) obtemos
- Interpretação rápida:
é a combinação simétrica (gerade, razão do subíndice ) e tem maior densidade eletrônica entre os núcleos → ligação; é a combinação antissimétrica (ungerade, ) e tem um nó entre núcleos → antissocial com a ligação (antiligante).
Passo 4
Diagrama de níveis e ocupação (regras de preenchimento).
- Ao combinar dois
obtemos dois níveis MO: nível inferior (aqui escrito ) e nível superior (aqui ). Desenho mental: - à esquerda:
e - no meio: duas MOs — baixo:
(ligante), alto: (antiligante)
- à esquerda:
- Temos dois elétrons. Pela regra de Aufbau e princípio de Pauli, os dois elétrons ocupam o orbital
com spins opostos (estado singlete), deixando vazio no estado fundamental.
Passo 5
Como escrever a função de onda de dois elétrons (noções de simetria de troca e spin).
- O princípio de exclusão de Pauli exige que a função total de dois elétrons seja antissimétrica à troca de partículas. Essa função total é produto da parte espacial pela parte de spin.
- Para dois elétrons no mesmo orbital espacial, a parte espacial é simétrica e, portanto, a parte de spin deve ser antissimétrica: isto é o estado singlete de spin
onde
e
são funções de spin “spin up” e “spin down”.
- Para dois elétrons em orbitais diferentes, existem combinações singlete (spin antissimétrico, parte espacial simétrica) e triplete (spin simétrico, parte espacial antissimétrica). É importante porque o menor estado excitado de
tem configuração com um elétron em cada MO e o estado triplete é energeticamente mais baixo que o singlete excitado (isso vem da energia de troca).
Passo 6
Função de onda do estado fundamental (escrita explícita e normalizada).
- Spatialmente, ambos os elétrons ocupam
. A parte espacial é simplesmente . - A parte de spin é o singlete
. - Portanto a função total do estado fundamental é
Observação prática: se na prova você puder desprezar
(ou se quiser a forma mais simples), use
e escreva
; a estrutura da função total permanece a mesma.
Passo 7
Construção da função do primeiro estado excitado (configuração
).
- A primeira excitação coloca um elétron em
e outro em . - Há duas possibilidades de multiplicidade de spin:
- Singlete excitado: parte espacial simétrica
- Triplete excitado: parte espacial antissimétrica
- Para garantir a antissimetria total escrevemos a parte espacial anti/simétrica explicitamente como combinação linear:
- Parte espacial simétrica:
- Parte espacial antissimétrica:
- As funções de spin correspondentes:
- Singlete de spin:
. - Triplete (um exemplo de componente,
): . Existem mais componentes do triplete ( , ).
- Singlete de spin:
Passo 8
Qual é o “primeiro” estado excitado de fato (observação física curta).
- Em
o primeiro estado excitado acessível é a configuração . Devido à energia de troca, a multiplicidade triplete tem energia menor que a singlete excitado correspondente. Assim o nível mais baixo com um elétron promovido é o estado triplete . Na espectroscopia eletrônica o singlete excitado aparece mais alto em energia e é opticamente permitido a partir do singlete fundamental (dependendo da regra de seleção), enquanto a transição para o triplete é spin-forbidden (fraca).
Passo 9
Resumo prático para a prova — formas prontas das funções de onda que você pode escrever rapidamente:
- Escreva primeiro
e com normalização em termos de :
- Estado fundamental (dois elétrons em
, spin singlete):
- Primeiro estado excitado mais baixo (configuração
, estado triplete, uma das componentes de spin):
Essas são fórmulas que você pode decorar e escrever na prova; se pedirem a componente singlete excitada, basta trocar o sinal menos por mais na parte espacial e usar o fator de spin singlete.