Faça a divisão do polinômio p(x) pelo polinômio q(x), nos seguintes casos:
(a) p(x)=x^2-4 x+4 e q(x)=x-2
(b) p(x)=10 x^2-43 x+40 e q(x)=2 x-5
© p(x)=12 x^3-19 x^2+15 x-3 e q(x)=3 x^2-x+2
(d) p(x)=6 x^4-10 x^3+9 x^2+9 x-5 e q(x)=2 x^2-4 x+5

Passo 1

O enunciado pede que a gente divida quatro vezes um polinômio p(x) por outro q(x). O conteúdo é divisão algébrica de polinômios, em que usamos o algoritmo da divisão para encontrar um quociente Q(x) e um resto R(x) tal que
p(x)=q(x)cdot Q(x)+R(x),
com grau de R(x) menor que o grau de q(x).

Passo 2

Caso (a): dividir p(x)=x^2-4x+4 por q(x)=x-2.
Usamos divisão sintética com a raiz de q(x)=0, que é x=2. As entradas são os coeficientes de p(x): 1, -4, 4.
  • Baixamos 1.
  • Multiplicamos 2·1=2 e somamos a -4 → -2.
  • Multiplicamos 2·(-2)= -4 e somamos a 4 → 0.
    O resto é 0 e o quociente tem coeficientes 1 e -2, ou seja, Q(x)=x-2.

Passo 3

Caso (b): dividir p(x)=10x^2-43x+40 por q(x)=2x-5 usando divisão longa.
  • Primeiro termo do quociente: 10x^2/2x=5x. Multiplicando 2x-5 por 5x 10x^2-25x. Subtraindo de p(x) sobra -18x+40.
  • Segundo termo: -18x/2x=-9. Multiplicando 2x-5 por -9 -18x+45. Subtraindo sobra resto -5).
    Logo, Q(x)=5x-9 e R(x)=-5.

Passo 4

Caso ©: dividir p(x)=12x^3-19x^2+15x-3 por q(x)=3x^2-x+2 usando divisão longa.
  • Primeiro termo do quociente: 12x^3/3x^2=4x. Multiplicando q(x) por 4x 12x^3-4x^2+8x. Subtraindo sobra -15x^2+7x-3.
  • Segundo termo: -15x^2/3x^2=-5. Multiplicando q(x) por -5 -15x^2+5x-10. Subtraindo sobra resto 2x+7.
    Portanto, Q(x)=4x-5 e R(x)=2x+7.

Passo 5

Caso (d): dividir p(x)=6x^4-10x^3+9x^2+9x-5 por q(x)=2x^2-4x+5 usando divisão longa.
  • Primeiro termo do quociente: 6x^4/2x^2=3x^2. Multiplicando q(x) por 3x^2 6x^4-12x^3+15x^2. Subtraindo sobra 2x^3-6x^2+9x-5.
  • Segundo termo: 2x^3/2x^2=x. Multiplicando q(x) por x 2x^3-4x^2+5x. Subtraindo sobra -2x^2+4x-5.
  • Terceiro termo: -2x^2/2x^2=-1. Multiplicando q(x) por -1 -2x^2+4x-5. Subtraindo sobra resto 0.
    Logo, Q(x)=3x^2+x-1 e R(x)=0.

Resposta

(a) Q(x)=x-2, R(x)=0
(b) Q(x)=5x-9, R(x)=-5
© Q(x)=4x-5, R(x)=2x+7
(d) Q(x)=3x^{2}+x-1, R(x)=0

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