Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
sigma(t)=(t^2-1,2, t), t in[0, infty).

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva no espaço dada por
sigma(t)=(,t^2-1,,2,,t), com tin[0,infty).
O conteúdo é geometria de curvas paramétricas em R^3; vamos usar a interpretação das componentes para visualizar a trajetória.

Passo 2

Repare que a segunda componente é
y(t)=2,
isto é, a curva está contida no plano horizontal y=2.

Passo 3

Como z(t)=t, podemos escrever t=z. Então a primeira componente fica
x = t^2 - 1 = z^2 - 1
Portanto, na interseção com o plano y=2, a curva projeta-se como a parábola
x = z^2 - 1

Passo 4

O domínio t>=0 equivale a z>=0. Logo a curva é somente a “metade direita” da parábola (para z>=0), começando em
t=0;Rightarrow;(-1,2,0)
e avançando no sentido de z e x crescentes.

Resposta

A curva é a porção da parábola
x = z^2 - 1, y = 2, z>=0,
com vértice em (-1,2,0), toda contida no plano y=2, e orientada de t=0 (vértice) para ttoinfty (ramos de z e x crescentes).

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