Utilizando as equações abaixo de sinh x e cosh x em termos de exponencias, demostre as identidades abaixo.
sinh x=e^x-e^-x2
cosh x=e^x+e^-x2
coth x=cosh xsinh x=e^x+e^-xe^x-e^-x

Passo 1

O enunciado nos dá as definições em termos de exponenciais de sinh x e cosh x e quer que a gente mostre também a expressão de coth x. O conteúdo é manipulação algébrica de frações e exponenciais.

Passo 2

Pelas definições que já recebemos, temos
sinh x = e^x - e^-x2
e
cosh x = e^x + e^-x2

Passo 3

Por definição de função hiperbólica cotangente,
coth x = cosh xsinh x
Substituindo as fórmulas de cosh x e sinh x em termos de exponenciais, obtemos
coth x = tfrace^x+e^-x2tfrace^x-e^-x2 = e^x+e^-xe^x-e^-x,
pois o fator tfrac12 no numerador e denominador se cancela.

Resposta

sinh x = e^x - e^-x2
cosh x = e^x + e^-x2
coth x = cosh xsinh x = e^x + e^-xe^x - e^-x

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