Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
o ramo da hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1, x >= a.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do ramo direito da hipérbole
x^2a^2 - y^2b^2 = 1, x >= a
Aqui o conteúdo é parametrização de curva: precisamos definir uma função
r(t) = l(x(t),,y(t)r)
que, ao variar o parâmetro, gera exatamente os pontos desse ramo.

Passo 2

Uma escolha natural é usar funções hiperbólicas, pois satisfazem sempre
cosh^2t - sinh^2t = 1. Definimos
r(t) = l(acosh t,;bsinh tr), tinR
Para verificar, substituímos na equação da hipérbole:
(acosh t)^2a^2 - (bsinh t)^2b^2 = cosh^2t - sinh^2t = 1
Além disso cosh t>=1 para todo t, logo x(t)=acosh t>= a, cobrindo todo o ramo.

Passo 3

Outra parametrização clássica usa substituição trigonométrica com secante e tangente, já que
sec^2theta - tan^2theta = 1. Basta escolher
r(theta) = l(asectheta,;btanthetar), thetainl(-tfracpi2,tfracpi2r)
Verificação:
(asectheta)^2a^2 - (btantheta)^2b^2 = sec^2theta - tan^2theta = 1,
e como sectheta>=1 em l(-tfracpi2,tfracpi2r), segue x(theta)=asectheta>= a.

Resposta

Uma parametrização possível usando funções hiperbólicas é
r1(t) = l(acosh t,;bsinh tr), tinR,
e uma alternativa usando funções trigonométricas é
r2(theta) = l(asectheta,;btanthetar), thetainl(-tfracpi2,tfracpi2r)

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