Utilizando as equações abaixo de sinh x e cosh x em termos de exponencias, demostre as identidades abaixo.
sinh x=e^x-e^-x2
cosh x=e^x+e^-x2
cosech x=1sinh x=2e^x-e^-x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as expressões de sinh x, cosh x e cosechx a partir das definições em termos de exponenciais. Vamos usar operações básicas de soma e subtração em duas equações que relacionam e^x e e^-x a sinh x e cosh x.

Passo 2

Partimos das identidades
e^x = cosh x + sinh x,
e^-x = cosh x - sinh x

Passo 3

Somando as duas equações:
e^x + e^-x = 2,cosh x
implies cosh x = e^x + e^-x2
Subtraindo a segunda da primeira:
e^x - e^-x = 2,sinh x
implies sinh x = e^x - e^-x2

Passo 4

Por definição,
cosechx = 1sinh x
Substituindo sinh x=tfrace^x-e^-x2 obtemos
cosechx = 1e^x - e^-x2 = 2e^x - e^-x

Resposta

sinh x = e^x - e^-x2
cosh x = e^x + e^-x2
cosechx = 1sinh x = 2e^x - e^-x

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