Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas. (13, pi, cos^(-1)(5/13))

Passo 1

Beleza, vamos mudar estas coordenadas de cilíndricas para esféricas. O que isso significa? Basicamente, estamos trocando a forma de descrever a posição de um ponto no espaço. Nas coordenadas cilíndricas, usamos (ρ, φ, z), onde:
  • ρ é a distância do ponto ao eixo z.
  • φ é o ângulo no plano xy.
  • z é a altura acima do plano xy.
Já nas coordenadas esféricas, usamos (r, θ, φ), onde:
  • r é a distância do ponto à origem.
  • θ é o ângulo em relação ao eixo z.
  • φ continua sendo o ângulo no plano xy.
Para fazer essa conversão, vamos precisar usar algumas fórmulas de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular r, que é a distância do ponto à origem. Usamos a fórmula:
No nosso caso, e . Mas aqui parece que houve uma confusão, normalmente é uma coordenada linear, não um ângulo. Vamos considerar que (pois sugere que ).
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo θ, que é o ângulo entre o vetor do ponto e o eixo z. Usamos a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

O ângulo φ nas coordenadas esféricas é o mesmo das coordenadas cilíndricas. Então, temos:

Resposta

As coordenadas esféricas são .

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