Faça um esboço das curvas de nível da função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4 para os valores z=8,4,0,-4,-8.

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4
para os valores z=8, 4, 0, -4 e -8.
O conteúdo aqui é o conceito de curva de nível: o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=z.

Passo 2

Para cada nível z, resolvemos
x^{2}+y^{2}-4 = z
que é equivalente a
x^{2}+y^{2} = z + 4.

Passo 3

Para que haja pontos reais satisfazendo x^{2}+y^{2}=z+4, é preciso ter
z + 4 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z \ge -4.
Logo, para z=-8 não há curva de nível (o conjunto é vazio).

Passo 4

Para cada z\ge-4 calculamos o raio da circunferência:
  • Se z=8, então x^{2}+y^{2}=12, raio r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
  • Se z=4, então x^{2}+y^{2}=8, raio r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Se z=0, então x^{2}+y^{2}=4, raio r=2.
  • Se z=-4, então x^{2}+y^{2}=0, raio r=0 (ponto na origem).

Passo 5

Portanto, as curvas de nível são, em ordem dos z dados:
  • Para z=8: circunferência de centro (0,0) e raio 2\sqrt{3}.
  • Para z=4: circunferência de centro (0,0) e raio 2\sqrt{2}.
  • Para z=0: circunferência de centro (0,0) e raio 2.
  • Para z=-4: ponto único (0,0).
  • Para z=-8: não há curva de nível (conjunto vazio).
No esboço, desenhe três círculos concêntricos de raios 2, 2\sqrt{2}, 2\sqrt{3}, um ponto na origem e nada para z=-8.

Resposta

Para cada nível z:
\begin{aligned} z=8: &\quad x^{2}+y^{2}=12,\quad r=2\sqrt{3},\\\ z=4: &\quad x^{2}+y^{2}=8,\quad r=2\sqrt{2},\\\ z=0: &\quad x^{2}+y^{2}=4,\quad r=2,\\\ z=-4: &\quad x^{2}+y^{2}=0,\quad r=0,\\\ z=-8: &\quad \text{nenhuma (conjunto vazio).} \end{aligned}

Exercícios relacionados