Uma função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais dados por
f(x, y)=4 x^{1 / 2} y^{2 / 3}
onde x e y representam insumos. Faça um mapa de contorno de f mostrando as curvas de produção constante para z=16,12,8,4,2.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
f(x,y)=4\,x^{1/2}\,y^{2/3}
e pede o mapa de contorno (níveis) para as constantes z=16,12,8,4,2.
Conteúdo: curvas de nível de uma função de duas variáveis. Para cada valor fixo de z, definimos
f(x,y)=z
e obtemos a equação da curva de nível correspondente.

Passo 2

Escrevemos a condição de nível
4\,x^{1/2}\,y^{2/3}=z
e isolamos o produto de potências:
x^{1/2}\,y^{2/3} = \frac{z}{4}\,.

Passo 3

Para expressar y em função de x, elevamos ambos os lados à potência 3/2, lembrando que
\bigl(x^{1/2}\bigr)^{3/2}=x^{3/4} e \bigl(y^{2/3}\bigr)^{3/2}=y. Assim,
\bigl(x^{1/2}\,y^{2/3}\bigr)^{3/2} = x^{3/4}\,y = \Bigl(\frac{z}{4}\Bigr)^{3/2}\,,
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y = \Bigl(\tfrac{z}{4}\Bigr)^{3/2}\;x^{-3/4}\,.

Passo 4

Agora calculamos o coeficiente
\displaystyle C(z)=\bigl(\tfrac{z}{4}\bigr)^{3/2} para cada z:
\begin{aligned} z=16:&\quad C(16)=\Bigl(\tfrac{16}{4}\Bigr)^{3/2}=4^{3/2}=8,\\\ z=12:&\quad C(12)=\Bigl(\tfrac{12}{4}\Bigr)^{3/2}=3^{3/2}=3\sqrt{3}\approx5,196,\\\ z=8:&\quad C(8)=\Bigl(\tfrac{8}{4}\Bigr)^{3/2}=2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx2,828,\\\ z=4:&\quad C(4)=\Bigl(\tfrac{4}{4}\Bigr)^{3/2}=1^{3/2}=1,\\\ z=2:&\quad C(2)=\Bigl(\tfrac{2}{4}\Bigr)^{3/2}=\bigl(\tfrac12\bigr)^{3/2}=\tfrac{1}{2\sqrt2}\approx0,354. \end{aligned}

Passo 5

Cada curva de nível é então
y = C(z)\,x^{-3/4}\,,
uma função decrescente em x. No plano (x,y), traçamos cinco curvas do tipo y=C_i\,x^{-3/4}, com
C_1=8,\;C_2=3\sqrt3,\;C_3=2\sqrt2,\;C_4=1,\;C_5=\tfrac1{2\sqrt2},
indicando em cada uma o valor z. As curvas mais altas (maior C) correspondem a maiores níveis de produção.

Resposta

As curvas de nível de f para z=16,12,8,4,2 são, respectivamente,
y = 8\,x^{-3/4},\quad y = 3\sqrt{3}\,x^{-3/4},\quad y = 2\sqrt{2}\,x^{-3/4},\quad y = 1\,x^{-3/4},\quad y = \tfrac{1}{2\sqrt{2}}\,x^{-3/4}.

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