Uma função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais dados por
onde
e
representam insumos. Faça um mapa de contorno de
mostrando as curvas de produção constante para
.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção
e pede o mapa de contorno (níveis) para as constantes
.
Conteúdo: curvas de nível de uma função de duas variáveis. Para cada valor fixo de , definimos
Conteúdo: curvas de nível de uma função de duas variáveis. Para cada valor fixo de
e obtemos a equação da curva de nível correspondente.
Passo 2
Escrevemos a condição de nível
e isolamos o produto de potências:
Passo 3
Para expressar
em função de
, elevamos ambos os lados à potência
, lembrando que
e
. Assim,
logo
Passo 4
Agora calculamos o coeficiente
para cada
:
Passo 5
Cada curva de nível é então
uma função decrescente em
. No plano
, traçamos cinco curvas do tipo
, com
indicando em cada uma o valor
. As curvas mais altas (maior
) correspondem a maiores níveis de produção.
Resposta
As curvas de nível de
para
são, respectivamente,