Suponha que o número de unidades produzidas de uma mercadoria seja dado por
z=6 x y
onde x representa o número de máquinas usadas na produção e y o número de trabalhadores. Trace um mapa de contorno de f mostrando as curvas de produção constantes para z=30,24,18,12,6.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
z = 6\,x\,y
onde x é o número de máquinas e y o número de trabalhadores. Queremos desenhar o mapa de contorno (isoquantas) dessa função para níveis de produção constantes z=30,24,18,12,6. Na prática, cada curva de contorno é o conjunto de pontos (x,y) para os quais 6xy é igual a um valor fixo.

Passo 2

Para um nível fixo z, impomos
6\,x\,y = z
e dividimos ambos os lados por 6, obtendo
x\,y = \frac{z}{6}\,.

Passo 3

Calculamos o valor de x\,y para cada contorno:
\begin{aligned} z=30 &\implies x\,y = \frac{30}{6} = 5,\\\ z=24 &\implies x\,y = \frac{24}{6} = 4,\\\ z=18 &\implies x\,y = \frac{18}{6} = 3,\\\ z=12 &\implies x\,y = \frac{12}{6} = 2,\\\ z=6 &\implies x\,y = \frac{6}{6} = 1. \end{aligned}

Passo 4

Cada curva de contorno, sendo hipérbole, pode ser escrita como
y = \frac{\,z/6\,}{x}\,.
Assim:
\begin{aligned} z=30:&\quad y = \frac{5}{x},\\\ z=24:&\quad y = \frac{4}{x},\\\ z=18:&\quad y = \frac{3}{x},\\\ z=12:&\quad y = \frac{2}{x},\\\ z=6: \quad& y = \frac{1}{x}. \end{aligned}

Passo 5

Para desenhar o mapa de contorno no primeiro quadrante:
  • Trace uma família de hipérboles decrescentes de y em função de x.
  • A curva mais afastada da origem é a de maior produção ( z=30), depois vêm as de z=24,18,12 e, por fim, a mais próxima ( z=6).
  • Em cada curva, marque o respectivo valor de z.

Resposta

As curvas de contorno são as hipérboles no primeiro quadrante definidas por
y = \frac{5}{x},\quad y = \frac{4}{x},\quad y = \frac{3}{x},\quad y = \frac{2}{x},\quad y = \frac{1}{x},
correspondentes respectivamente a z=30,24,18,12,6.

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