integral0^2 z^2 ln z d z

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida de 0 a 2 de z^2ln z,dz. O conteúdo principal é integração por partes, pois temos um produto de z^2 e ln z.

Passo 2

Para usar integração por partes, escolhemos u=ln z e dv=z^2,dz. Assim, precisamos encontrar du e v.

Passo 3

Calculando as derivadas e antiderivadas: du=dfrac1z,dz e v=integral z^2,dz=z^33.

Passo 4

Aplicando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, a antiderivada fica
F(z)=z^33ln z - integral z^33cdot1z,dz = z^33ln z - integral z^23,dz = z^33ln z - z^39 + C

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, em z=2:
F(2)=2^33ln2 - 2^39=83ln2-89
Em zto0^+, tanto z^3ln z quanto z^3 vão a zero, então F(0)=0.

Passo 6

Portanto, pela definição da integral definida, temos
integral0^2z^2ln z,dz = F(2)-F(0)

Resposta

83ln2 - 89

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