Faça o esboço do gráfico de cada função:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos esboçar o gráfico da função
. Para isso vamos usar domínio e interceptos, derivada para monotonia, segunda derivada para concavidade e comportamento nos extremos.
Passo 2
Interceptos com os eixos: o domínio é todo
. Para achar as raízes, fazemos
Passo 3
Estudo de monotonia: calculemos a derivada
– Para
– Para
– Para
Passo 4
Avaliação dos extremos:
[f(0)=0\quad(mínimo local),\qquad f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr){2}-\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr){3}=\tfrac{4}{9}-\tfrac{8}{27}=\tfrac{4}{27}\approx0{,}148\quad(máximo local).
Passo 5
Estudo de concavidade: calculemos a segunda derivada
– Para
– Para
Passo 6
Comportamento nos extremos:
– :
domina e fica
.
– :
domina e fica
.
–
–
Passo 7
Esboço final: juntando tudo temos uma curva que vem de
à esquerda, decresce até o mínimo em
, cresce até o máximo em
, passa novamente por
e decresce para
à direita, com ponto de inflexão em
.
Resposta
O esboço mostra uma cúbica com raízes em 0 e 1, mínimo local em (0,0), máximo local em (2/3,4/27), ponto de inflexão em x=1/3, cresce em (0,2/3), decresce fora desse intervalo e tende a +∞ para x→−∞ e a −∞ para x→+∞.