Faça o esboço do gráfico de cada função:
f(x)=x^2-x^3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos esboçar o gráfico da função f(x)=x^2-x^3. Para isso vamos usar domínio e interceptos, derivada para monotonia, segunda derivada para concavidade e comportamento nos extremos.

Passo 2

Interceptos com os eixos: o domínio é todo R. Para achar as raízes, fazemos
f(x)=x^2-x^3=x^2(1-x)=0Isso dá x=0 (raiz dupla) e x=1. O intercepto em y é f(0)=0.

Passo 3

Estudo de monotonia: calculemos a derivada
f'(x)=2x-3x^2=x(2-3x)Os pontos críticos são x=0 e x=tfrac23.
– Para x<0: x<0 e 2-3x>0 logo f'<0 (função decrescente).
– Para 0: ambas as parcelas positivas, f'>0 (função crescente).
– Para x>tfrac23: x>0 e 2-3x<0 então f'<0 (função decrescente).

Passo 4

Avaliação dos extremos:
[f(0)=0\quad(mínimo local),\qquad f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr){2}-\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr){3}=\tfrac{4}{9}-\tfrac{8}{27}=\tfrac{4}{27}\approx0{,}148\quad(máximo local).

Passo 5

Estudo de concavidade: calculemos a segunda derivada
f''(x)=2-6xO ponto de inflexão ocorre em f''(x)=0Rightarrow x=tfrac13.
– Para x: f''>0 (concavidade para cima).
– Para x>tfrac13: f''<0 (concavidade para baixo).

Passo 6

Comportamento nos extremos:
xto-infty: -x^3 domina e fica +infty.
xto+infty: -x^3 domina e fica -infty.

Passo 7

Esboço final: juntando tudo temos uma curva que vem de +infty à esquerda, decresce até o mínimo em (0,0), cresce até o máximo em (tfrac23,tfrac427), passa novamente por (1,0) e decresce para -infty à direita, com ponto de inflexão em x=tfrac13.

Resposta

O esboço mostra uma cúbica com raízes em 0 e 1, mínimo local em (0,0), máximo local em (2/3,4/27), ponto de inflexão em x=1/3, cresce em (0,2/3), decresce fora desse intervalo e tende a +∞ para x→−∞ e a −∞ para x→+∞.

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