Faça um esboço do gráfico e encontre o limite indicado, se existir. Se não existir, indique a razão.
f(x)= 2 & si x<-2 raiz4-x^2 & si -2 <= x <= 2 -2 & si 2<x
( ) lim x -2^- f(x);
(b) lim x -2^+ f(x);
(c) lim x -2 f(x)
(d) lim x 2^- f(x);
(e) lim x 2^+ f(x); (f) lim x 2 f(x)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 2, & x<-2, raiz4-x^2, & -2<= x<= 2, -2, & x>2
O conteúdo aqui é análise de limites laterais e continuidade em pontos de quebra ( x=-2 e x=2). Para resolver, vamos primeiro esboçar o gráfico e depois calcular cada limite pedido.

Passo 2

Esboço do gráfico de f:
  1. Para x<-2, f(x)=2 é uma reta horizontal de valor 2, com ponto aberto em x=-2.
  2. Para -2<= x<= 2, f(x)=raiz4-x^2 é a semicircunferência superior de raio 2 centrada na origem, passando pelos pontos (-2,0) e (2,0), ambos fechados.
  3. Para x>2, f(x)=-2 é uma reta horizontal de valor -2, com ponto aberto em x=2.

Passo 3

Cálculo em x=-2:
  • Pela esquerda ( xto -2^-), estamos na região x<-2 com f(x)=2.
limxto -2^-f(x)=2
  • Pela direita ( xto -2^+), estamos na semicircunferência e em x=-2 ela vale raiz4-(-2)^2=raiz0=0.
limxto -2^+f(x)=0

Passo 4

Como os dois limites laterais em x=-2 não coincidem ( 2neq0), o limite de f quando xto -2 não existe, devido a um salto (“jump discontinuity”).

Passo 5

Cálculo em x=2:
  • Pela esquerda ( xto 2^-), ainda na semicircunferência, em x=2 temos raiz4-2^2=raiz0=0.
limxto 2^-f(x)=0
  • Pela direita ( xto 2^+), estamos na região x>2 com f(x)=-2.
limxto 2^+f(x)=-2

Passo 6

Como limxto 2^-f(x)=0 e limxto 2^+f(x)=-2 são diferentes, o limite limxto 2f(x) não existe, também por salto.

Resposta

(a) limxto -2^-f(x)=2
(b) limxto -2^+f(x)=0
(c) limxto -2f(x) não existe (saltos de 2 para 0)
(d) limxto 2^-f(x)=0
(e) limxto 2^+f(x)=-2
(f) limxto 2f(x) não existe (saltos de 0 para -2)

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