1. 3 y^prime-2 y=e^-pi / 2, y(0)=a

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes
3y' - 2y = e^-pi2
e a condição inicial y(0)=a. O método para resolver é o da equação linear, usando fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão
y' - 23,y = 13,e^-pi2
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral -tfrac23,dxr) = e^-23x

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
e^-23xy' - 23,e^-23xy = 13,e^-pi2,e^-23x,
o que identifica o lado esquerdo como derivada do produto mu y. Assim,
ddxl(e^-23xyr) = 13,e^-pi2,e^-23x
Integramos ambos os lados:
e^-23xy = integral 13,e^-pi2,e^-23x,dx + C = -12,e^-pi2,e^-23x + C

Passo 4

Isolando y e usando e^-23x inverso:
y = -tfrac12,e^-pi2 + C,e^23x
Da condição inicial y(0)=a segue
a = -tfrac12,e^-pi2 + C Longrightarrow C = a + tfrac12,e^-pi2

Resposta

y(x) = l(a + tfrac12,e^-pi2r),e^23x - tfrac12,e^-pi2

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