d yd x+2 y=f(x), f(x)=ll1, & 0 <= x <= 3 0, & x>3,, y(0)=0

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
Para resolver usamos o fator integrante
.

Passo 2

Para 0<= x<=3 temos f(x)=1. Multiplicando por e^2x e integrando de 0 a x:
ddx(y,e^2x)=e^2x Longrightarrow y(x)e^2x-y(0)e^0=integral0^xe^2t,dt =12l(e^2x-1r)
Como y(0)=0,
y(x)=e^-2x,e^2x-12 =12l(1-e^-2xr)

Passo 3

Para x>3, f(x)=0 e a equação fica homogênea:
dydx+2y=0 Longrightarrow y(x)=C,e^-2x
Impondo continuidade em x=3:
y(3)=tfrac12l(1-e^-6r) Longrightarrow C=y(3)e^6=tfrac12(e^6-1)
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y(x)=12l(e^6-1r)e^-2x

Resposta

y(x) = 12l(1 - e^-2xr), & 0 <= x <= 3, [1ex] 12(e^6 - 1),e^-2x, & x > 3 ]

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