Faça um esboço do gráfico da função dada para
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico da função, para
, dada pela série de degraus
Informações relevantes:
- Cada termo é um degrau deslocado do tipo
multiplicado por um coeficiente. - A sequência dos coeficientes é:
para , e a partir de alterna entre e : para é , para é , para é , e assim por diante. - O que se pede é o gráfico (esboço) para
, portanto interessa saber o valor da função em cada intervalo entre inteiros: .
Passo 2
Entendendo o papel do degrau unitário
:
- Por definição usaremos
se e se . - Isso significa que o termo
contribui com enquanto e contribui com para todo . Ou seja, cada termo introduz um salto (jump) no instante de magnitude igual ao coeficiente .
Exemplo simples: se tivéssemos
, então para
o valor seria
, para
seria
(apenas o degrau em 1 já está ativo) e para
seria
.
Passo 3
Escrever a série em forma de coeficientes e perceber que o valor da função em um
é a soma dos coeficientes cujos degraus já “ligaram” até esse
.
Definimos os coeficientes em função do índice
:
- Para
o coeficiente é . - Para
o coeficiente é (verifique: para dá ; para dá , etc.).
Para um
, seja
(parte inteira de
). Todos os degraus com
estão ativos. Logo o valor da função em
é a soma dos primeiros
coeficientes:
Passo 4
Calcular a soma parcial [S_m=\sum_{n=1}^{m} a_n).
Começamos por analisar a soma dos termos alternados a partir de
:
Observe que a soma alternada
vale
se
é ímpar e vale
se
é par. Então
Portanto
Agora somando
:
E, por consistência,
).]
Passo 5
Concluir os valores em cada intervalo e montar uma tabela (isso ajuda a esboçar o gráfico).
- Para
temos e . - Para
temos (ímpar) e . - Para
temos (par) e . - Para
temos (ímpar) e . - Para
temos (par) e . - E assim por diante: a sequência de alturas por intervalo inteiro (começando em
) é
Passo 6
Expressão geral e regra prática para desenhar:
- Para
vale . - Para
vale
(Verifique: se
então
; se
então
, etc.)
Como esboçar:
- Desenhe o eixo
a partir de . - Em
trace uma linha horizontal em altura . - No
faça um salto para altura e mantenha essa altura até . - No
faça um salto para e mantenha até . - No
salte para , no para , alternando indefinidamente. - O gráfico é uma função em degraus (função em escada) que começa em
e, a partir de , alterna entre e em cada inteiro.
Dica final: é uma espécie de “onda quadrada” discreta começando em
, com valores
alternados, exceto o trecho inicial
em que vale
.