Faça um esboço do gráfico da função dada para t \geq 0
u(t-1)-2 u(t-2)+2 u(t-3)-2 u(t-4)+\ldots

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função, para t\ge 0, dada pela série de degraus
u(t-1)-2\,u(t-2)+2\,u(t-3)-2\,u(t-4)+\ldots
Informações relevantes:
  • Cada termo é um degrau deslocado do tipo u(t-n) multiplicado por um coeficiente.
  • A sequência dos coeficientes é: +1 para u(t-1), e a partir de n=2 alterna entre -2 e +2: para u(t-2) é -2, para u(t-3) é +2, para u(t-4) é -2, e assim por diante.
  • O que se pede é o gráfico (esboço) para t\ge 0, portanto interessa saber o valor da função em cada intervalo entre inteiros: [0,1),[1,2),[2,3),\ldots.

Passo 2

Entendendo o papel do degrau unitário u(t-a):
  • Por definição usaremos u(t-a)=0 se t<a e u(t-a)=1 se t\ge a.
  • Isso significa que o termo c\cdot u(t-n) contribui com 0 enquanto t<n e contribui com c para todo t\ge n. Ou seja, cada termo introduz um salto (jump) no instante t=n de magnitude igual ao coeficiente c.
Exemplo simples: se tivéssemos u(t-1)+u(t-3), então para t\in[0,1) o valor seria 0, para t\in[1,3) seria 1 (apenas o degrau em 1 já está ativo) e para t\ge3 seria 2.

Passo 3

Escrever a série em forma de coeficientes e perceber que o valor da função em um t é a soma dos coeficientes cujos degraus já “ligaram” até esse t.
Definimos os coeficientes em função do índice n:
  • Para n=1 o coeficiente é 1.
  • Para n\ge2 o coeficiente é 2(-1)^{n+1} (verifique: para n=2 2(-1)^3=-2; para n=3 +2, etc.).
Para um t\ge0, seja m=\lfloor t\rfloor (parte inteira de t). Todos os degraus com n\le m estão ativos. Logo o valor da função em t é a soma dos primeiros m coeficientes:
f(t)=\sum_{n=1}^{m} a_n,\qquad\text{onde }a_1=1,\; a_n=2(-1)^{n+1}\\ (n\ge2).

Passo 4

Calcular a soma parcial [S_m=\sum_{n=1}^{m} a_n).
Começamos por analisar a soma dos termos alternados a partir de n=2:
\sum_{n=2}^{m} a_n = 2\sum_{n=2}^{m} (-1)^{n+1}.
Observe que a soma alternada \sum_{n=1}^{m} (-1)^{n+1} vale 1 se m é ímpar e vale 0 se m é par. Então
\sum_{n=2}^{m} (-1)^{n+1}=\left(\sum_{n=1}^{m} (-1)^{n+1}\right)-1= \begin{cases} 0-1=-1, & \text{se }m\text{ é par},\\[4pt] 1-1=0, & \text{se }m\text{ é ímpar}. \end{cases}ééí
Portanto
\sum_{n=2}^{m} a_n= \begin{cases} -2, & m\text{ par},\\[4pt] 0, & m\text{ ímpar}. \end{cases}í
Agora somando a_1=1\] obtemos \[S_m:
S_m= \begin{cases} 1+(-2)=-1, & m\text{ par (}\,m\ge2\text{)},\\[4pt] 1+0=1, & m\text{ ímpar}. \end{cases}í
E, por consistência, S_0=0\] (nenhum degrau ativo quando \(0\le t<1).]

Passo 5

Concluir os valores em cada intervalo e montar uma tabela (isso ajuda a esboçar o gráfico).
  • Para t\in[0,1) temos m=0 e f(t)=S_0=0.
  • Para t\in[1,2) temos m=1 (ímpar) e f(t)=S_1=1.
  • Para t\in[2,3) temos m=2 (par) e f(t)=S_2=-1.
  • Para t\in[3,4) temos m=3 (ímpar) e f(t)=S_3=1.
  • Para t\in[4,5) temos m=4 (par) e f(t)=S_4=-1.
  • E assim por diante: a sequência de alturas por intervalo inteiro (começando em m=0) é
0,\;1,\;-1,\;1,\;-1,\;1,\;-1,\ldots

Passo 6

Expressão geral e regra prática para desenhar:
  • Para 0\le t<1 vale f(t)=0.
  • Para t\ge1 vale
f(t)=(-1)^{\lfloor t\rfloor +1}.
(Verifique: se \lfloor t\rfloor=1 então f=(-1)^{2}=1; se \lfloor t\rfloor=2 então f=(-1)^{3}=-1, etc.)
Como esboçar:
  • Desenhe o eixo t a partir de 0.
  • Em [0,1) trace uma linha horizontal em altura 0.
  • No t=1 faça um salto para altura 1 e mantenha essa altura até t=2.
  • No t=2 faça um salto para -1 e mantenha até t=3.
  • No t=3 salte para +1, no t=4 para -1, alternando indefinidamente.
  • O gráfico é uma função em degraus (função em escada) que começa em 0 e, a partir de t=1, alterna entre +1 e -1 em cada inteiro.
Dica final: é uma espécie de “onda quadrada” discreta começando em t=1, com valores \pm1 alternados, exceto o trecho inicial [0,1) em que vale 0.

Resposta

f(t)=0,\quad 0\le t<1
f(t)=(-1)^{\lfloor t\rfloor +1},\quad t\ge 1

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