Faça um esboço do gráfico da função dada para t \geq 0
t(u(t)-u(t-1))+(u(t-1)-u(t-3))+ +(u(t-3)-u(t-4))(4-t)

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função para t\ge 0. A função fornecida é
t\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr)+\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr)+\bigl(u(t-3)-u(t-4)\bigr)(4-t).
Informações relevantes dadas:
  • A variável é t e o domínio pedido é t\ge 0.
  • Aparecem funções degrau unitário do tipo u(\cdot).
  • Devemos produzir um esboço do gráfico (ou seja, descrever a forma e os pontos chave do gráfico) para t\ge 0.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o degrau unitário [u(t)) e como diferenças de degrau funcionam (aqui é uma mini-aula, sem pular etapas).
Definição usual do degrau unitário:
u(t)= \begin{cases} 1, & t\ge 0,\\\\ 0, & t<0. \end{cases}
Observações úteis:
  • A diferença \;u(t-a)-u(t-b)\;\] gera um "pulso retangular" que vale \[1 para a\le t<b e vale 0 fora desse intervalo. Por exemplo,
u(t-1)-u(t-3)= \begin{cases} 1, & 1\le t<3,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • Multiplicar uma função (p. ex. t\] ou \(4-t) por esse pulso faz com que a função só “valha” dentro do intervalo do pulso, e seja zero fora.
Esses fatos nos permitem transformar expressões com degraus em pedaços fáceis de entender por intervalos.

Passo 3

Separe a função em três termos e interprete cada um:
Termo A:
t\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr).
Aqui \;u(t)-u(t-1)=1 para 0\le t<1 e 0 para t\ge 1. Logo o termo A vale t em 0\le t<1 e 0 fora desse intervalo.
Termo B:
u(t-1)-u(t-3).
Como usado no passo anterior, este termo vale 1 para 1\le t<3 e vale 0 fora desse intervalo.
Termo C:
\bigl(u(t-3)-u(t-4)\bigr)(4-t).
Aqui \;u(t-3)-u(t-4)=1 para 3\le t<4 e 0 fora. Então o termo C vale 4-t para 3\le t<4 e 0 fora desse intervalo.

Passo 4

Combine os termos por intervalo para obter a função peça a peça (a combinação é simplesmente soma, e como os “pulsos” não se sobrepõem exceto possivelmente em pontos, fica simples):
  • Para 0\le t<1: apenas o termo A é ativo. Então
f(t)=t.
Pontos importantes: f(0)=0 e f(1^-)=1.
  • Para 1\le t<3: apenas o termo B é ativo (termo A já é zero e termo C ainda não entrou). Então
f(t)=1.
Pontos: f(1)=1 (continuidade em t=1), f(3^-)=1.
  • Para 3\le t<4: apenas o termo C é ativo (os outros dois são zero). Então
f(t)=4-t.
Observe que em t=3 temos f(3)=4-3=1, compatível com o valor à esquerda; em t=4^- temos f(4^-)=0.
  • Para t\ge 4: todos os três termos são zero, logo
f(t)=0.
Em t=4 a função vale 0, então é contínua em t=4 com o lado esquerdo.
Recapitulando os pontos de interesse (que ajudam no esboço): (0,0), (1,1), (3,1), (4,0). A função sobe linearmente de 0 a 1 no intervalo [0,1], fica constante igual a 1 em [1,3], decai linearmente de 1 a 0 em [3,4] e fica 0 para t\ge 4.

Passo 5

Instruções concretas para desenhar o esboço (faça assim na prova, sem calculadora):
  • Trace o eixo t horizontal e o eixo f(t) vertical.
  • Marque os pontos t=0,1,3,4.
  • Entre t=0 e t=1, desenhe a reta f(t)=t (uma linha que vai de (0,0) a (1,1)).
  • Entre t=1 e t=3, desenhe uma linha horizontal em f(t)=1.
  • Entre t=3 e t=4, desenhe a reta f(t)=4-t (linha decrescente de (3,1) a (4,0)).
  • Para t\ge 4, desenhe o eixo f(t)=0.
Se quiser marcar tipos de pontos: todos os pontos citados são incluídos (usamos a convenção u(0)=1 para avaliar os degraus em fronteiras), então use pontos preenchidos em (1,1), (3,1), (4,0), etc. Mas o esboço não depende de um valor específico em pontos de descontinuidade se houver outra convenção; aqui tudo ficou contínuo.

Resposta

f(t)= \begin{cases} t, & 0\le t<1,\\[4pt] 1, & 1\le t<3,\\[4pt] 4-t, & 3\le t<4,\\[4pt] 0, & t\ge 4. \end{cases}]

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