\mathbf{2}^{\circ} ) Questão ( 9,0 ptos, onde cada item vale 3,0 ptos).
Dadas as equações diferenciais ordinárias com pvi:
a) y^{\prime}-2 x y=0, \operatorname{com} y(0)=1.
b) y^{\prime}+y=2 e^{x}, \operatorname{com} y(0)=1.
c) y^{\prime}-2 x(y+1)=0, \operatorname{com} y(0)=0.
Então encontre, para cada caso y_{n}, e após isto
y=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} .

Passo 1

O enunciado apresenta três problemas de valor-inicial do tipo
y' = f(x,y),\quad y(0)=y_0,
e pede as aproximações de Picard
y_{n+1}(x)=y_0+\int_{0}^{x}f\bigl(t,y_n(t)\bigr)\,dt
e, em seguida, o limite y(x)=\lim_{n\to\infty}y_n(x).

Passo 2

Caso (a):
y'=2xy,\quad y(0)=1.
A equação integral é
y_{n+1}(x)=1+\int_{0}^{x}2t\,y_n(t)\,dt,
com y_0(x)=1.
Então
y_1(x)=1+\int_{0}^{x}2t\cdot1\,dt=1+x^2,
y_2(x)=1+\int_{0}^{x}2t\,(1+t^2)\,dt =1+x^2+\frac{x^4}{2},
y_3(x)=1+\int_{0}^{x}2t\Bigl(1+t^2+\frac{t^4}{2}\Bigr)dt =1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6},
e por indução
y_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2k}}{k!}.
Logo
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!}=e^{x^2}.

Passo 3

Caso (b):
y'+y=2e^x,\quad y(0)=1.
Escrevemos
y_{n+1}(x)=1+\int_{0}^{x}\bigl(2e^t - y_n(t)\bigr)\,dt, \quad y_0(x)=1.
Calculando algumas iterações:
y_1=2e^x-1 - x, \quad y_2=1 + x + \frac{x^2}{2}, \quad y_3=2e^x-1 - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6},
y_4=1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24},
etc.
De fato, para n=2m
y_{2m}(x)=1+\sum_{k=1}^{2m}\frac{x^k}{k!},
e para n=2m+1
y_{2m+1}(x)=2e^x-1-\sum_{k=1}^{2m+1}\frac{x^k}{k!}.
À medida que n\to\infty, ambas as sequências convergem para
y(x)=e^x,
solução exata de y'+y=2e^x, y(0)=1.

Passo 4

Caso (c):
y'-2x\,(y+1)=0,\quad y(0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y'=2x\,(y+1).
A iteração de Picard é
y_{n+1}(x)=\int_{0}^{x}2t\bigl(y_n(t)+1\bigr)\,dt, \quad y_0(x)=0.
Logo
y_1=x^2, \quad y_2=x^2+\frac{x^4}{2}, \quad y_3=x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6},
etc.
Por indução
y_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{2k}}{k!},
e, no limite,
y(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!} =e^{x^2}-1.

Resposta

(a) \displaystyle y_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2k}}{k!},\quad y(x)=e^{x^2}.
(b) \displaystyle y_{2m}(x)=1+\sum_{k=1}^{2m}\frac{x^k}{k!},\quad y_{2m+1}(x)=2e^x-1-\sum_{k=1}^{2m+1}\frac{x^k}{k!},\quad y(x)=e^x.
(c) \displaystyle y_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{2k}}{k!},\quad y(x)=e^{x^2}-1.

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