) Questão ( 9,0 ptos, onde cada item vale 3,0 ptos).
Dadas as equações diferenciais ordinárias com pvi:
a)
.
b)
.
c)
.
Então encontre, para cada caso
, e após isto
Dadas as equações diferenciais ordinárias com pvi:
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado apresenta três problemas de valor-inicial do tipo
e pede as aproximações de Picard
e, em seguida, o limite
.
Passo 2
Caso (a):
A equação integral é
com
.
Então
Então
e por indução
Logo
Passo 3
Caso (b):
Escrevemos
Calculando algumas iterações:
etc.
De fato, para
De fato, para
e para
À medida que
, ambas as sequências convergem para
solução exata de
,
.
Passo 4
Caso (c):
A iteração de Picard é
Logo
etc.
Por indução
Por indução
e, no limite,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)