Faça um esboço gráfico da função definida pela regra:
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico da função
O conteúdo envolve estudo de domínio, derivada (para ver monotonia e extremos), comportamento em
e forma geral da curva.
Passo 2
Observamos que
logo podemos escrever
Isso mostra domínio
e que a curva é suave, exceto num ponto de quina em
.
Passo 3
Calculamos a derivada em cada ramo.
Para ,
, então
Para
Para
,
, daí
Passo 4
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
- Em
a equação não tem solução positiva. - Em
a equação dá , isto é e .
Calculamos
Analisando o sinal de
: para
tem-se
(cresce), entre
e
tem-se
(decresce). Logo há máximo local em
.
Passo 5
Em
a derivada do ramo esquerdo tende a
e do ramo direito tende a
, gerando uma quina em
. Notamos ainda:
Para
vale
e para
vale
.
Passo 6
Com essas informações, traçamos o esboço:
– O ramo cresce vindo de
até
.
– De a
a curva decresce até
com quina.
– Para cresce monotonamente, passando por
e seguindo praticamente linear de inclinação
.
– O ramo
– De
– Para
Resposta
O gráfico tem máximo local em
, quina em
e cresce linearmente para os extremos. A curva sobe para
, desce até
e depois cresce sem parar, aproximando-se de reta de inclinação
para
.