Faça um esboço gráfico da função definida pela regra:
f(x)=2 x+3 \sqrt[3]{x^{2}}, \quad x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função
f(x)=2x+3\sqrt[3]{x^2},\quad x\in\mathbb{R}.
O conteúdo envolve estudo de domínio, derivada (para ver monotonia e extremos), comportamento em x\to\pm\infty e forma geral da curva.

Passo 2

Observamos que
\sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{1/3}=|x|^{2/3},
logo podemos escrever
f(x)=2x+3|x|^{2/3}.
Isso mostra domínio \mathbb{R} e que a curva é suave, exceto num ponto de quina em x=0.

Passo 3

Calculamos a derivada em cada ramo.
Para x>0, f(x)=2x+3x^{2/3}, então
f'(x)=2+3\cdot\frac{2}{3}\,x^{-1/3}=2+2x^{-1/3}.
Para x<0, f(x)=2x+3(-x)^{2/3}, daí
f'(x)=2+3\cdot\frac{2}{3}(-x)^{-1/3}\cdot(-1) =2-2(-x)^{-1/3}.

Passo 4

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
  • Em x>0 a equação 2+2x^{-1/3}=0 não tem solução positiva.
  • Em x<0 a equação 2-2(-x)^{-1/3}=0 (-x)^{-1/3}=1, isto é -x=1 e x=-1.
    Calculamos
f(-1)=2(-1)+3\sqrt[3]{(-1)^2}=-2+3\cdot1=1.
Analisando o sinal de f': para x<-1 tem-se f'>0 (cresce), entre -1 e 0 tem-se f'<0 (decresce). Logo há máximo local em (-1,1).

Passo 5

Em x=0 a derivada do ramo esquerdo tende a -\infty e do ramo direito tende a +\infty, gerando uma quina em (0,0). Notamos ainda:
f(0)=0,\quad f(1)=2+3\cdot1=5.
Para x\to+\infty vale f(x)\sim2x\to+\infty e para x\to-\infty vale f(x)\sim2x\to-\infty.

Passo 6

Com essas informações, traçamos o esboço:
– O ramo x< -1 cresce vindo de -\infty até (-1,1).
– De -1 a 0 a curva decresce até (0,0) com quina.
– Para x>0 cresce monotonamente, passando por (1,5) e seguindo praticamente linear de inclinação 2.

Resposta

O gráfico tem máximo local em (-1,1), quina em (0,0) e cresce linearmente para os extremos. A curva sobe para -1, desce até 0 e depois cresce sem parar, aproximando-se de reta de inclinação 2 para x\to\pm\infty.

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