Faça o esboço do gráfico da função e diga se a função é apenas injetiva, apenas sobrejetiva ou bijetiva.
f: R--3 R, f(x)=4 x^2+24 x+36x+3

Passo 1

O enunciado apresenta a função racional f: Rsetminus-3toR, dada por f(x)=4x^2+24x+36x+3. O conteúdo envolve análise de função racional, simplificação algébrica, esboço de gráfico e testes de injeção e sobrejeção.

Passo 2

Observe que o numerador pode ser fatorado: 4x^2+24x+36=4(x^2+6x+9)=4(x+3)^2. Para xneq-3, temos
f(x)=4(x+3)^2x+3=4(x+3)=4x+12
Assim a função se comporta como uma reta, salvo no ponto removido em x=-3.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, consideramos a reta y=4x+12 e introduzimos um furo no ponto correspondente a x=-3, pois o domínio exclui esse valor. Calculamos f(-3)=4(-3)+12=0, logo o furo está em (-3,0).

Passo 4

Testamos a injetividade: como a função em forma simplificada é uma reta de coeficiente angular 4 (f(x)=4x+12), que é estritamente crescente, conclui-se que f é injetiva em seu domínio.

Passo 5

Testamos a sobrejetividade: a reta y=4x+12 atinge todos os valores reais, mas devido ao furo em (-3,0), o valor 0 não pertence à imagem de f. Logo f não é sobrejetiva, pois não é possível obter y=0.

Resposta

O gráfico de f é a reta y=4x+12 com um furo em (-3,0). A função é apenas injetiva.

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