Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
D=z in C:|z-3+i|<2

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a classificação da região
D = ,zinC : |z - (3 - i)| < 2
no plano complexo. O conteúdo aqui é a interpretação geométrica da norma em C: cada condição lvert z - z0rvert < R define um disco de centro z0 e raio R. Vamos usar essa interpretação e depois discutir abertura, fechamento, limitação e conexidade.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy e z0=3 - i, temos
|z - (3 - i)| = raiz(x - 3)^2 + (y + 1)^2
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D = l(x,y)inR^2 : raiz(x - 3)^2 + (y + 1)^2 < 2r,
ou seja, o disco de centro (3,-1) e raio 2, sem incluir a fronteira.

Passo 3

Para esboçar D:
1. Desenhe o eixo real horizontal x e o eixo imaginário vertical y.
2. Marque o centro C=(3,-1).
3. Desenhe um círculo de raio 2 em torno de C, usando linha tracejada para representar que a fronteira não faz parte de D.
4. Sombrie o interior desse círculo para indicar os pontos que satisfazem a desigualdade estrita.

Passo 4

Analisando as propriedades de D:
  • Aberta: sim, pois a desigualdade é estrita ( <2), então nenhum ponto da fronteira pertence a D.
  • Fechada: não, porque não inclui a fronteira |z-(3-i)|=2.
  • Limitada: sim, fica dentro de um círculo de raio 2, então supzin D|z|<infty.
  • Ilimitada: não.
  • Conexa: sim, todo disco aberto em R^2 é região convexa e, portanto, conexa.
  • Desconexa: não.

Resposta

Esboço gráfico: plano complexo com centro em (3,-1), círculo de raio 2 (linha tracejada) e interior sombreado.
Classificação de D:
bul<=t Aberta
bul<=t Não fechada
bul<=t Limitada
bul<=t Conexa

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