Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
Passo 1
O enunciado pede o esboço e a classificação da região
no plano complexo. O conteúdo aqui é a interpretação geométrica da norma em
: cada condição
define um disco de centro
e raio
. Vamos usar essa interpretação e depois discutir abertura, fechamento, limitação e conexidade.
Passo 2
Escrevendo
e
, temos
Logo
ou seja, o disco de centro
e raio
, sem incluir a fronteira.
Passo 3
Para esboçar
:
. Desenhe o eixo real horizontal
e o eixo imaginário vertical
.
. Marque o centro
.
. Desenhe um círculo de raio
em torno de
, usando linha tracejada para representar que a fronteira não faz parte de
.
. Sombrie o interior desse círculo para indicar os pontos que satisfazem a desigualdade estrita.
Passo 4
Analisando as propriedades de
:
- Aberta: sim, pois a desigualdade é estrita (
), então nenhum ponto da fronteira pertence a . - Fechada: não, porque não inclui a fronteira
. - Limitada: sim, fica dentro de um círculo de raio
, então . - Ilimitada: não.
- Conexa: sim, todo disco aberto em
é região convexa e, portanto, conexa. - Desconexa: não.
Resposta
Esboço gráfico: plano complexo com centro em
, círculo de raio
(linha tracejada) e interior sombreado.
Classificação de
:
Aberta
Não fechada
Limitada
Conexa