Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha integralC F d r, onde
F(x, y, z)=lang<= e^z+5 y^33, e^z-5 x^33, 2 x z+2 y zrang<=
e C é a curva dada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 e o plano x+y+z=1. Considere a curva orientada positivamente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC F , dr usando o Teorema de Stokes. A função vetorial F está definida por:
F(x, y, z) = lang<= e^z + 5 y^33,, e^z - 5 x^33,, 2 x z + 2 y z rang<=
A curva C é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano x + y + z = 1. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com uma integral de superfície, e para isso vamos precisar calcular o rotacional de F e definir uma superfície limitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes, que diz:
ointC F , dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Isso significa que a integral de linha sobre a curva C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como contorno, com n sendo o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z,; partial F1partial z - partial F3partial x,; partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente:
  • partial F3partial y = partialpartial y(2xz + 2yz) = 2z
  • partial F2partial z = partialpartial z(e^z - 5x^33) = e^z
  • partial F1partial z = partialpartial z(e^z + 5y^33) = e^z
  • partial F3partial x = partialpartial x(2xz + 2yz) = 2z
  • partial F2partial x = partialpartial x(e^z - 5x^33) = -5x^2
  • partial F1partial y = partialpartial y(e^z + 5y^33) = 5y^2
Então, temos:
nabla times F = (2z - e^z,, e^z - 2z,, -5x^2 - 5y^2)

Passo 4

Agora, precisamos definir a superfície S limitada pela curva C. A curva C é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano x + y + z = 1. Será mais fácil trabalhar com a superfície sendo a parte do plano x + y + z = 1 dentro do cilindro.
Para isso, precisamos expressar z em função de x e y a partir do plano:
z = 1 - x - y

Passo 5

Em seguida, vamos determinar o vetor normal n à superfície S. Como a superfície é dada pela equação x + y + z = 1, o vetor normal é perpendicular a esse plano e pode ser obtido a partir dos coeficientes de x, y e z na equação do plano:
n = lang<= 1,, 1,, 1 rang<=
Para garantir que a orientação está correta (positiva), mantemos a direção desse vetor.

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o rotacional de F e o vetor normal n:
(nabla times F) cdot n = (2z - e^z) cdot 1 + (e^z - 2z) cdot 1 + (-5x^2 - 5y^2) cdot 1 = (2z - e^z + e^z - 2z) - 5x^2 - 5y^2 = -5x^2 - 5y^2
Perceba que os termos 2z e -2z cancelam, assim como -e^z e e^z.

Passo 7

A próxima etapa é configurar a integral dupla sobre a superfície S. Já que estamos trabalhando com o cilindro x^2 + y^2 = 1, é conveniente usar coordenadas polares para simplificar a integração.
Em coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi
A área diferencial em coordenadas polares é dS = r , dr , dtheta.

Passo 8

Agora, substituímos x e y na expressão do produto escalar:
-5x^2 - 5y^2 = -5(r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta) = -5r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = -5r^2
Já que cos^2 theta + sin^2 theta = 1.
Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 (-5r^2) cdot r , dr , dtheta = -5 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 9

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
Então, a integral dupla torna-se:
-5 integral0^2pi 14 , dtheta = -54 integral0^2pi dtheta = -54 cdot (2pi - 0) = -54 cdot 2pi = -5pi2

Resposta

A integral de linha é igual a -dfrac5pi2.

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