Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
e
é a curva dada pela interseção do cilindro
e o plano
. Considere a curva orientada positivamente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. A função vetorial
está definida por:
A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com uma integral de superfície, e para isso vamos precisar calcular o rotacional de
e definir uma superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes, que diz:
Isso significa que a integral de linha sobre a curva
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como contorno, com
sendo o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos definir a superfície
limitada pela curva
. A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Será mais fácil trabalhar com a superfície sendo a parte do plano
dentro do cilindro.
Para isso, precisamos expressar
em função de
e
a partir do plano:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar o vetor normal
à superfície
. Como a superfície é dada pela equação
, o vetor normal é perpendicular a esse plano e pode ser obtido a partir dos coeficientes de
,
e
na equação do plano:
Para garantir que a orientação está correta (positiva), mantemos a direção desse vetor.
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o rotacional de
e o vetor normal
:
Perceba que os termos
e
cancelam, assim como
e
.
Passo 7
A próxima etapa é configurar a integral dupla sobre a superfície
. Já que estamos trabalhando com o cilindro
, é conveniente usar coordenadas polares para simplificar a integração.
Em coordenadas polares:
A área diferencial em coordenadas polares é
.
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão do produto escalar:
Já que
.
Portanto, a integral dupla fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral dupla torna-se:
Resposta
A integral de linha é igual a
.